Abstand zweier Punkte/ Geraden < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Mo 21.06.2010 | | Autor: | LadyVal |
| Aufgabe | | Bezogen auf ein geeignetes Koordinatensystem startet eine Fliege in O zu einem geradlinigen Flug nach P (3/12/4). In derselben Zeit fliegt eine Wespe geradlinig von A (0/10/5) nach B (0/2/5). Beide Tiere fliegen mit konstanter Geschwindigkeit. Berechnen Sie den minimalen Abstand der Tiere und den minimalen Abstand der Flugbahnen. |
Hey,
so, das ist die letzte Frage für heute zum Thema Abstand :')
Wie der minimale Abstand der Flugbahnen berechnet wird, finde ich noch recht einfach.
(Wenn ich mich richtig erinnere, ich habe gerade meine Unterlagen nicht zur Hand, kam da 3 heraus).
Aber wie berechne ich den Abstand der Tiere. Woher weiß ich denn, wo die beiden den minimalen Abstand haben?
Wir ihr seht: mir fehlt der Ansatz.
Habt Dank für Eure Hilfe.
LG
Val
|
|
| |
|
Hallo!
> Bezogen auf ein geeignetes Koordinatensystem startet eine
> Fliege in O zu einem geradlinigen Flug nach P (3/12/4). In
> derselben Zeit fliegt eine Wespe geradlinig von A (0/10/5)
> nach B (0/2/5). Beide Tiere fliegen mit konstanter
> Geschwindigkeit. Berechnen Sie den minimalen Abstand der
> Tiere und den minimalen Abstand der Flugbahnen.
> Hey,
> so, das ist die letzte Frage für heute zum Thema Abstand
> :')
>
> Wie der minimale Abstand der Flugbahnen berechnet wird,
> finde ich noch recht einfach.
> (Wenn ich mich richtig erinnere, ich habe gerade meine
> Unterlagen nicht zur Hand, kam da 3 heraus).
> Aber wie berechne ich den Abstand der Tiere. Woher weiß
> ich denn, wo die beiden den minimalen Abstand haben?
> Wir ihr seht: mir fehlt der Ansatz.
In der Aufgabe fehlt die Angabe, ob sich beide mit derselben Geschwindigkeit fortbewegen, das nehmen wir jetzt mal an.
Die Geradengleichungen der Flugbahnen lauten:
[mm] $g:x=\lambda*\vektor{3\\12\\4}$
[/mm]
und
$h:x = [mm] \vektor{0\\10\\5} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{0\\8\\0}$
[/mm]
Wir normieren nun die Richtungsvektoren auf die Länge 1:
[mm] $g:x=\lambda*\frac{1}{13}*\vektor{3\\12\\4}$
[/mm]
$h:x = [mm] \vektor{0\\10\\5} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{0\\1\\0}$.
[/mm]
Was bedeutet es nun, wenn Fliege und Wespe mit derselben Geschwindigkeit fliegen? Es bedeutet, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt t die Fliege am Ort
[mm] $t*\frac{1}{13}*\vektor{3\\12\\4}$
[/mm]
ist und die Wespe am Ort
[mm] $\vektor{0\\10\\5} [/mm] + [mm] t*\vektor{0\\1\\0}$
[/mm]
(Beide Richtungsvektoren haben die Länge 1!).
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Mo 21.06.2010 | | Autor: | LadyVal |
Hallo Stefan,
herzlichen Dank für die schnelle Hilfe.
Ich kann nachvollziehen, was Du aufschreibst. Die RV zu normieren habe ich sogar im Vorfeld auch mal angedacht, aber dann wieder verworfen 
Ich verstehe nun dennoch nicht, wo der minimale Abstand ist bzw. wie ich ihn berechnen kann. Wird als Ergebnis nicht e i n e Zahl erwartet?
Etwas verzweifelt;
herzlich
Val
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Mo 21.06.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bestimme mal zum Zeitpunkt t den "Verbindungsvektor" zwischen dem Punkt der Fliege [mm] F_{t} [/mm] und dem der Wespe [mm] W_{t}.
[/mm]
Es gilt ja:
[mm] \vec{f_{t}}=t\cdot{}\frac{1}{13}\cdot{}\vektor{3\\12\\4}=\vektor{\bruch{3t}{13}\\\bruch{12t}{13}\\\bruch{4t}{13}}
[/mm]
[mm] \vec{w_{t}}=\vektor{0\\10\\5}+t\cdot{}\vektor{0\\1\\0}=\vektor{0\\10+t\\5}
[/mm]
Also
[mm] \overrightarrow{F_{t}W_{t}}=\vektor{0\\10+t\\5}-\vektor{\bruch{3t}{13}\\\bruch{12t}{13}\\\bruch{4t}{13}}=\vektor{-\bruch{3t}{13}\\10+\bruch{t}{13}\\-\bruch{4t}{13}}
[/mm]
Jetzt bestimme mal den Betrag d(t) (die Länge) von [mm] \overrightarrow{F_{t}W_{t}}
[/mm]
und dann das t, für das dieser Wert d(t) minimal wird.
Das ganze ist de facto dann eine Suche nach dem Minimum von d(t), was du mit Hilfe der Differenzialrechnung lösen kannst. (Notwendige Bedingung: d'(t)=0, hinreichende Bedingung d''(t)>0)
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:02 Di 22.06.2010 | | Autor: | LadyVal |
Nachtrag:
Beim nochmaligen Überfliegen sah ich:
Bei dem von Dir genannten Vektor [mm] \overrightarrow{F_{t}W_{t}} [/mm] muss der Eintrag in der 3. Zeile doch lauten: 5 - [mm] \bruch{4t}{13}, [/mm] oder?
(Und nicht nur - [mm] \bruch{4t}{13})
[/mm]
--------------------------------------------------------------------------------------------
Krasse Sache!
d(t) ist dann also [mm] \bruch{26}{169}t^{2} [/mm] + [mm] \bruch{3}{4}t [/mm] + 100
und d'(t) = [mm] \bruch{52}{169}t [/mm] + [mm] \bruch{20}{13}
[/mm]
Es gilt: d'(t) = 0
0 = [mm] \bruch{52}{169}t [/mm] + [mm] \bruch{20}{13}
[/mm]
0 = 52t + 260
5 = t
d''(5) = [mm] \bruch{52}{169} [/mm]
d''(5) > 0 => t =5 Tiefpunkt, also minimaler Abstand.
Um den Abstand auszurechnen, wird t=5 schließlich noch eingesetzt in
d(t) = [mm] \bruch{26}{169}t^{2} [/mm] + [mm] \bruch{3}{4}t [/mm] + 100
und nach langem Rechnen erhält man d(5) = 111,54 LE, wenn ich mich eben nicht verrechnet habe.
Herzlichen Dank! Bingo bongo alles nun :')
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:17 Di 22.06.2010 | | Autor: | M.Rex |
> Nachtrag:
> Beim nochmaligen Überfliegen sah ich:
> Bei dem von Dir genannten Vektor
> [mm]\overrightarrow{F_{t}W_{t}}[/mm] muss der Eintrag in der 3.
> Zeile doch lauten: 5 - [mm]\bruch{4t}{13},[/mm] oder?
> (Und nicht nur - [mm]\bruch{4t}{13})[/mm]
Stimmt, die 5 hab ich übersehen.
>
> --------------------------------------------------------------------------------------------
>
> Krasse Sache!
>
> d(t) ist dann also [mm]\bruch{26}{169}t^{2}[/mm] + [mm]\bruch{3}{4}t[/mm] +
> 100
>
> und d'(t) = [mm]\bruch{52}{169}t[/mm] + [mm]\bruch{20}{13}[/mm]
>
> Es gilt: d'(t) = 0
> 0 = [mm]\bruch{52}{169}t[/mm] + [mm]\bruch{20}{13}[/mm]
> 0 = 52t + 260
> 5 = t
>
> d''(5) = [mm]\bruch{52}{169}[/mm]
> d''(5) > 0 => t =5 Tiefpunkt, also minimaler Abstand.
>
> Um den Abstand auszurechnen, wird t=5 schließlich noch
> eingesetzt in
>
> d(t) = [mm]\bruch{26}{169}t^{2}[/mm] + [mm]\bruch{3}{4}t[/mm] + 100
>
> und nach langem Rechnen erhält man d(5) = 111,54 LE, wenn
> ich mich eben nicht verrechnet habe.
Habs nicht nachgerechnet, aber eigentlich ist [mm] d(t)=\wurzel{...}. [/mm] Aber da Quadrieren die Lage des Extrema nicht verändert, ist dein Weg korrekt. Du musst am Ende aber noch die Wurzel ziehen, also ist der Abstand [mm] \wurzel{111,54}\approx10,56LE
[/mm]
>
> Herzlichen Dank! Bingo bongo alles nun :')
>
Das hört sich gut an.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 Di 22.06.2010 | | Autor: | LadyVal |
Ja, stimmt, das mit der Wurzel habe ich vergessen (auch habe ich ein Minuszeichen unterschlagen, aber dennoch fröhlich t = 5 als Lösung hingeschrieben^^). Netterweise fällt die Wurzel ja bei der Berechnung von t weg. Zugegeben: am Ende für die Berechnung der Länge braucht man sie wieder.
Naja, es ist schon spät. Das Prinzip habe ich jedenfalls kapiert. Die Rechenfehler bügel ich morgen aus :')
Danke jedenfalls nochmal! Gute Nacht Dir und dem Rest!
|
|
|
|
