Abstand zwischen 2 Strecken < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Kiuko |
| Aufgabe | Gegeben sind eine Funktion f mit Schaubild K sowie zwei Punkte P und Q auf K.
Welcher OPunkt R zwischen P und Q auf K hat von der Strecke PQ den größten Abstand? Bestimmen Sie diesen grösten Abstand.
a.) [mm] f(x)=\bruch{1}{2}x²; P(\bruch{1}{2}/\bruch{1}{8});Q(2/2)
[/mm]
b.) [mm] f(x)=\bruch{1}{3}x³; P(\bruch{3}{2}/\bruch{9}{8}); [/mm] Q(3/9) |
Dazu ist her ein Bild abgezeichnet , wo ich sehe, dass die Normale der Strecke (PQ) an einer Stelle zur Funktion K den größten Abstand hat...
Aber wie kkomme ich da drauf???
Ich hätte nun erstmal die erste Ableitung bestimmt und y=mx+c ausgerechnet, damit ich wenigstens mal die Strecke habe. aber das wäre ja dann die Tangente, die ich hier nicht brauchen kann...
Ihr seht ... mir fehlt der Ansatz, ich bin überfragt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Sa 24.03.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin!
ich habe mir mal ne skizze gemacht.
> Gegeben sind eine Funktion f mit Schaubild K sowie zwei
> Punkte P und Q auf K.
> Welcher OPunkt R zwischen P und Q auf K hat von der
> Strecke PQ den größten Abstand? Bestimmen Sie diesen
> grösten Abstand.
>
> a.) [mm]f(x)=\bruch{1}{2}x²; P(\bruch{1}{2}/\bruch{1}{8});Q(2/2)[/mm]
zunächst habe ich den graphen der funktion gezeichnet. dann eine gerade t durch die punkte P und Q gezeichnet. man könnte die geradengelichung mithilfe des differenzenquotienten bestimmen:
m= [mm] \bruch{ 2 - \bruch{1}{8}}{ 2 - \bruch{1}{2}}
[/mm]
und danach noch das c bestimmen.
dann kann ich meine zielfunktion bilden
z(x)= t(x) - f(x)
und davon dann den extremwert bestimmen.
gruß
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mo 26.03.2007 | | Autor: | Kiuko |
Ich rechne nun wirklich schon lange dran rum und ich komme noch immer zu keinem Ergebniss...
Gibt es auch einen anderen weg, der evtl. einfacher ist, als der hier angegebene???
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> Ich rechne nun wirklich schon lange dran rum und ich komme
> noch immer zu keinem Ergebniss...
Hallo,
diese Mitteilung ist überhaupt nicht hilfreich, da Du mit keiner Silbe verrätst, WAS Du so lange gerechnet und überlegt hast, und WO Du warum nicht weiterkommst.
Hast Du die Gleichung der Geraden durch P und Q denn nun aufgestellt, wie hase_hh es Dir vorschlug? Wie lautet sie?
Nun würde ich die Stelle [mm] x_{max} [/mm] berechnen, an welcher die Tangente an den Graphen der Funktion die gleiche Steigung hat wie die vorgegebene Gerade.
Dafür brauchst Du die Ableitung.
Dann mußt Du noch ausrechen, wie groß der Abstand des Punktes [mm] (x_{max},f(x_{max})) [/mm] von der Geraden ist.
Wie Du das machst, hängt daon ab. was Du kannst.
Am einfachsten ist es sicher über die Hessesche Normalenform der Gerade.
Ansonsten - zu Fuß:
Hierzu kannst Du die Gleichung der Geraden, welche senkrecht zur Tangenten bzw. Geraden ist und durch [mm] (x_{max},f(x_{max})) [/mm] geht aufstellen, deren Schnittpunkt mit der Geraden berechnen, und dann den Abstand zwischen [mm] (x_{max},f(x_{max})) [/mm] und dem Schnittpunkt.
Gruß v. Angela
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