Abstandsaufgabe/ Höhe Dreieck < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist ein Dreieck ABC. Berechne die Länge einer Höhe und den Flächeninhalt.
a) A(2/3/-7) ; B(4/3/-5) ; C(1/0/-2) |
Hallo Leute.
Ich komm bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Also als Grundprinzip ist das glaube ich, der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden, oder?
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand ein wenig auf die Sprünge helfen könnte.
Vielen Dank schon mal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 So 25.05.2008 | | Autor: | moody |
Das System hat meine Zeitenänderung nicht korrekt übernommen:
Ab heute, 23:30 habe ich Zeit.
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Wo genau liegt denn das Problem? :)
Also du sollst irgendeine beliebige Höhe des Dreiecks berechnen. Die Höhe ist so definiert, dass sie von der Hälfte einer Dreiecksseite zum gegenüberliegenden Eckpunkt geht.
So z.B. für die Dreiecksseite AB:
Erst einmal brauchst du die Dreiecksseite AB als Vektor [mm]\vec {AB}[/mm]
Das ist ja ganz einfach, einfach den Punkt B-A
Dann brauchst du den Mittelpunkt dieser Strecke, denn du willst ja den Startpunkt deiner Höhe haben.
Also rechnest du [mm]\vec A + \bruch{1}{2}*\vec {AB}=\vec M_h[/mm]
Jetzt hast du die Koordinaten für den Mittelpunkt der Strecke AB und den Anfangspunkt für die Höhe der Seite c
Jetzt musst du nur noch den Vektor für die Höhe bestimmen, also vom Mittelpunkt zum gegenüberliegenden Eckpunkt C [mm] \vec c - \vec {M_h}=\vec {h_c}[/mm]
Damit hast du die Höhe als Vektor, und die Länge ist ja bekanntlich der Betrag also ist deine Höhe [mm] h_c=\left| \vec {h_c} \right|[/mm]
Der Flächeninhalt geht zum Beispiel mit der Formel [mm]\bruch{1}{2}*g*h[/mm]
Also nimmst du die Seite AB als Grundseite und die ausgerechnete Höhe [mm] h_c [/mm] als Höhe
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:26 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Adamantin,
> Wo genau liegt denn das Problem? :)
>
> Also du sollst irgendeine beliebige Höhe des Dreiecks
> berechnen. Die Höhe ist so definiert, dass sie von der
> Hälfte einer Dreiecksseite zum gegenüberliegenden Eckpunkt
> geht.
Nur die Höhe zur Basis in einem gleichschenkligen Dreieck halbiert die Grundseite. Daraus ergibt sich, dass nur im gleichseitigen Dreieck die Fußpunkte aller Höhen auch Mittelpunkte der Seiten sind.
>
> So z.B. für die Dreiecksseite AB:
>
> Erst einmal brauchst du die Dreiecksseite AB als Vektor
> [mm]\vec {AB}[/mm]
> Das ist ja ganz einfach, einfach den Punkt B-A
>
> Dann brauchst du den Mittelpunkt dieser Strecke, denn du
> willst ja den Startpunkt deiner Höhe haben.
>
> Also rechnest du [mm]\vec A + \bruch{1}{2}*\vec {AB}=\vec M_h[/mm]
>
> Jetzt hast du die Koordinaten für den Mittelpunkt der
> Strecke AB und den Anfangspunkt für die Höhe der Seite c
> Jetzt musst du nur noch den Vektor für die Höhe bestimmen,
> also vom Mittelpunkt zum gegenüberliegenden Eckpunkt C [mm]\vec c - \vec {M_h}=\vec {h_c}[/mm]
Um die Höhe zu bestimmen kann man das Lotfußpunktverfahren benutzen oder mit einer Hilfsebene arbeiten. Um die Höhe [mm] h_c [/mm] zu bestimmen, sucht man z.B. eine Ebene, die senkrecht zu AB steht und den Punkt C enthält. Der Schnittpunkt dieser Ebene mit der Geraden AB ist dann der Fußpunkt der Höhe.
Gruß
Sigrid
>
> Damit hast du die Höhe als Vektor, und die Länge ist ja
> bekanntlich der Betrag also ist deine Höhe [mm]h_c=\left| \vec {h_c} \right|[/mm]
>
> Der Flächeninhalt geht zum Beispiel mit der Formel
> [mm]\bruch{1}{2}*g*h[/mm]
>
> Also nimmst du die Seite AB als Grundseite und die
> ausgerechnete Höhe [mm]h_c[/mm] als Höhe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Adamantin |
Vollkommen richtig, tut mir leid, war wohl zu spät....
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> Gegeben ist ein Dreieck ABC. Berechne die Länge einer Höhe
> und den Flächeninhalt.
>
> a) A(2/3/-7) ; B(4/3/-5) ; C(1/0/-2)
> Hallo Leute.
>
> Ich komm bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Also als
> Grundprinzip ist das glaube ich, der Abstand zwischen einem
> Punkt und einer Geraden, oder?
> Es wäre sehr nett, wenn mir jemand ein wenig auf die
> Sprünge helfen könnte.
>
> Vielen Dank schon mal im Voraus.
>
Falls du weisst, wie man einen Winkel zwischen zwei
Vektoren berechnet, gibt es einen deutlich einfacheren
Weg als den über das Fällen eines Lotes von einem
Punkt auf eine Gerade:
1.) berechne den Winkel [mm] \alpha [/mm] des Dreiecks
2.) dann ist [mm]h_c = b*sin(\alpha)[/mm] (mach' dir dies anhand einer Figur klar !)
Gruß al-Chwarizmi
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