Abstandsfunktion ableiten... < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Di 30.10.2007 | | Autor: | aurum |
| Aufgabe | Fünf Bauernhöfe liegen an einer geraden Straße. Wie muss der Standort der Milchsammelstelle gewählt werden, damit die von den Bauern insgesamt zur Milchablieferung zurückgelegte Strecke Minimal wird.
Hof km
a 7.7
b 22.5
c 16.5
d 10.2
e 13.1 |
Da muss ich dann ja eine Abstandsfunktion:
abs(7.7-x)+abs(22.5-x)+abs(16.5-x)+abs(10.2-x)+(13.1-x)
aufstellen. Nur wie leite ich die händisch ab? Respektive ist meine Überlegung überhaupt richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Mi 31.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
MAch es dir einfacher, und quadriere die Abstände, dann ändert sich die Lage des Minimums nämlich nicht, aber die Vorzeichen "verschwinden", weil nur positive Werte aufaddiert werden.
Also:
d(x)=abs(7.7-x)+abs(22.5-x)+abs(16.5-x)+abs(10.2-x)+abs(13.1-x)
Somit d²(x)=(7.7-x)²+(22.5-x)²+(16.5-x)²+(10.2-x)²+(13.1-x)²
Und das ganze kannst du jetzt esrtaml zusammenfassen, und dann auf einen Term der Form ax²+bx+c führen, was ja eine Parabel von der du den Scheitelpunkt entweder per Ableitung oder per Scheitelpunktsform bestimmen kannst.
Ach ja: Die Parabel ist nach oben geöffnet, also ist der Scheitelpunkt der Tiefpunkt, wie gewünscht.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Mi 31.10.2007 | | Autor: | aurum |
Ja das habe ich auch schon gemacht ... Mein Taschenrechner sagt aber das es verschiedene Minima gibt?!
Bei letzterer Methode bei 14 und bei meiner bei 13.1! Letzteres ist anscheinend tatsächlich der gesuchte Abstand, da es händisch tatsächlich kürzer ist als die 14?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Do 01.11.2007 | | Autor: | Blech |
> Ja das habe ich auch schon gemacht ... Mein Taschenrechner
> sagt aber das es verschiedene Minima gibt?!
>
> Bei letzterer Methode bei 14 und bei meiner bei 13.1!
> Letzteres ist anscheinend tatsächlich der gesuchte Abstand,
> da es händisch tatsächlich kürzer ist als die 14?!
Quadrieren verändert das Minimum; wenn müßte man schon den ganzen Ausdruck quadrieren, aber das würde das Problem schwerer statt einfacher machen.
Was ist denn die Ableitung von |a-x|?
Zeichne Dir das Teil mal hin, dann siehst Du, daß sie an sich sehr einfach ist.
Du kannst es auch logisch machen:
Wir fangen bei Streckenkilometer 7 an.
Alle Stationen liegen rechts von uns, d.h. jeden Meter, den wir unser Hauptquartier nach rechts verlagern macht die Wege von allen Bauern um einen Meter kürzer. Jetzt kommen wir bei Kilometer 7.7 vorbei. Ganz plötzlich wird der Weg von einem Bauern länger, wenn wir weiter nach rechts gehen; aber die von den anderen 4 werden immer noch kürzer. Bei 13,1 werden die Wege von jeweils 3 länger und nur von 2 kürzer, egal in welche Richtung wir gehen, also ist es optimal.
Wenn wir die Abstände jeweils quadrieren, dann bestrafen wir sehr weite Wege zusätzlich; d.h. wenn wir nur 2 Bauern haben, einen bei 0 und einen bei 20, dann ist es von der Gesamtdistanz her egal, wo wir unsere Sammelstelle wählen, solange es zwischen 0 und 20 ist. In allen Fällen werden beide Bauern zusammen 20km zurücklegen.
Bei quadrierten Abständen hätte eine Stelle bei 0 einen "Malus" (es ist ja keine Strecke, wir berechnen nur, wie "ungünstig" ein Ort liegt) von 400 [mm] ($=20^2$), [/mm] eine bei 10 einen von nur 200 [mm] ($=2*10^2$)
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:36 Do 01.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Antwort ist leider falsch. es ist zwar egal ob man d oder [mm] d^2 [/mm] minimiert, wenn d>0, aber das Quadrat einer Summe ist eben nicht die Summe der Quadrate.
Wenns nur 2 Bauern gibt etwa ist es egal wo der Standort ist, die Gesamtstrecke ist immer der Abstand der 2. die quadrat. Gleichung speigelt aber ein Min in der Mitte vor!
Gruss leduart.
|
|
|
|
