Abstandsfunktion stetig < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 So 03.10.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | | Zeige, dass für einen metrischen Raum [mm](X,d)[/mm], die Abstandsfunktion [mm]d: X \times X \to \mathbb{R}_{0}^{+}[/mm] eine stetige Funktion ist. Dabei trägt [mm]X \times X[/mm] die Produkttopologie. |
Hallo Leute.
Das ist eindeutig nicht mein Gebiet.. Ich versuche die Aufgabe zu lösen und kann schon eifachste Fragen nicht mit Sicherheit beantworten.
Ich habe also [mm]d[/mm] eine Abbildung. Um sie zwischen topologischen Räumen zu konstruieren, behafte ich [mm]X \times X[/mm] mit der Produkttopologie. Und [mm]\mathbb{R}_{0}^{+}[/mm] ? Ich schätze hier besteht [mm]\mathcal{O}[/mm] ([mm]\mathcal{O}[/mm] Topologie) wohl aus [mm]\emptyset[/mm], [mm]\mathbb{R}_{0}^{+}[/mm] und aller offenen Intervalle [mm](a,b)[/mm] mit [mm]0 \le a < b[/mm] ?
Das wäre schon die erste Frage..
Dann, muss ich für die Stetigkeit ja die Urbilder offener Mengen anschauen.. also nehme ich ein Intervall [mm](a,b)[/mm] mit den Voraussetzungen, die ich oben gestellt habe. Jetzt brauche ich noch zu wissen, wie die offenen Mengen in [mm]X \times X[/mm] aussehen mit der Topologie.
[mm]W \subset X \times X[/mm] offen [mm]\Leftrightarrow \forall (x_{1},x_{2}) \in W \exists U \in \mathcal{O}_{x_{1}}[/mm], [mm]V \in \mathcal{O}_{x_{2}}[/mm] mit [mm](x_{1},x_{2}) \in U \times V \subset W[/mm]
Ist das bisher richtig?
Was mich nun verwirrt... Wenn ich das Urbild eines offenen Intervalls [mm](a,b)[/mm] anschaue, dann bekomme ich ja für jeden Punkt in diesem Intervall unendlich viele Paare [mm](x_{1},x_{2}) \in X \times X[/mm], und es gibt auch unendlich viele Punkte in [mm](a,b)[/mm].. Ich weiss nicht wie damit umgehen..
Ich hoffe, jemand kann hier helfen :)
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 Di 05.10.2010 | | Autor: | meili |
Hallo Amaro,
> Zeige, dass für einen metrischen Raum [mm](X,d)[/mm], die
> Abstandsfunktion [mm]d: X \times X \to \mathbb{R}_{0}^{+}[/mm] eine
> stetige Funktion ist. Dabei trägt [mm]X \times X[/mm] die
> Produkttopologie.
>
> Hallo Leute.
>
> Das ist eindeutig nicht mein Gebiet.. Ich versuche die
> Aufgabe zu lösen und kann schon eifachste Fragen nicht mit
> Sicherheit beantworten.
>
> Ich habe also [mm]d[/mm] eine Abbildung. Um sie zwischen
> topologischen Räumen zu konstruieren, behafte ich [mm]X \times X[/mm]
> mit der Produkttopologie. Und [mm]\mathbb{R}_{0}^{+}[/mm] ? Ich
> schätze hier besteht [mm]\mathcal{O}[/mm] ([mm]\mathcal{O}[/mm] Topologie)
> wohl aus [mm]\emptyset[/mm], [mm]\mathbb{R}_{0}^{+}[/mm] und aller offenen
> Intervalle [mm](a,b)[/mm] mit [mm]0 \le a < b[/mm] ?
>
> Das wäre schon die erste Frage..
Ja, in Ordnung soweit. Ich denke, die halboffenen Intervalle [mm][0,a)[/mm] mit [mm]0 < a [/mm] gehören auch noch zur Topologie [mm]\mathcal{O}[/mm]. (Spurtopologie der kanonischen Topologie von [mm]\IR[/mm] auf [mm]\mathbb{R}_{0}^{+}[/mm])
>
> Dann, muss ich für die Stetigkeit ja die Urbilder offener
> Mengen anschauen.. also nehme ich ein Intervall [mm](a,b)[/mm] mit
> den Voraussetzungen, die ich oben gestellt habe. Jetzt
> brauche ich noch zu wissen, wie die offenen Mengen in [mm]X \times X[/mm]
> aussehen mit der Topologie.
>
> [mm]W \subset X \times X[/mm] offen [mm]\Leftrightarrow \forall (x_{1},x_{2}) \in W \exists U \in \mathcal{O}_{x_{1}}[/mm],
> [mm]V \in \mathcal{O}_{x_{2}}[/mm] mit [mm](x_{1},x_{2}) \in U \times V \subset W[/mm]
>
> Ist das bisher richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Was mich nun verwirrt... Wenn ich das Urbild eines offenen
> Intervalls [mm](a,b)[/mm] anschaue, dann bekomme ich ja für jeden
> Punkt in diesem Intervall unendlich viele Paare
> [mm](x_{1},x_{2}) \in X \times X[/mm], und es gibt auch unendlich
> viele Punkte in [mm](a,b)[/mm].. Ich weiss nicht wie damit umgehen..
(Hatte sich nicht Herr Cantor schon mit diesem Problem herumgeschlagen?)
Aber etwas ernsthafter:
Warum nicht allgemein einen nicht näher bestimmten Punkt c aus [mm](a,b)[/mm] nehmen und dessen Urbild [mm](x_{1},x_{2}) \in X \times X[/mm] betrachten? Wenn es für diesen gilt, dann für alle mit den gleichen Eigenschaften.
Die offenen Mengen in X lassen sich auch in Abhängigkeit von der Metrik d beschreiben.
>
> Ich hoffe, jemand kann hier helfen :)
>
> Grüsse, Amaro
Gruß meili
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Di 05.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Benutze die Vierecksungleichung:
[mm] $|d(x,y)-d(x_0,y_0)| \le d(x,x_0)+d(y,y_0)$ [/mm] für [mm] x,y,x_0,y_0 \in [/mm] X
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Di 05.10.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo euch beiden
Schon mal danke für die Hinweise. Die haben mir (hoffentlich) weitergeholfen:
Die offenen Mengen habe ich bereits beschrieben. Ich gehe also weiter und nehme ein Element [mm](x_{1},x_{2}) \in X \times X[/mm] mit [mm]d(x_{1},x_{2}) =: p \in (a,b)[/mm]
Ich definiere nun [mm]l := min(|a-p|,|b-p|)[/mm].
Jetzt brauche ich offene Umgebungen von [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm]. Ich setze also:
[mm]U_{1} := B(x_{1},l/4)[/mm], [mm]U_{2} := B(x_{2},l/4)[/mm] und betrachte nun [mm]U_{1}\times U_{2}[/mm].
Ich wähle nun [mm]x_{1}' \in U_{1}[/mm], [mm]x_{2}' \in U_{2}[/mm] und wende wie von euch hingewiesen die Vierecksungleichung. Das liefert:
[mm]|p-d(x_{1}',x_{2}')| =: q \le l/2[/mm] und somit gilt [mm]q \in (a,b)[/mm]
Bin ich nun fertig? Oder was fehlt denn hier noch?
Ich hoffe ich hab die Aufgabe jetzt mehr oder weniger richtig hingekriegt bzw. richtig verstanden..
Ich bedanke mich auf jeden Fall für eure Hilfe :)
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Di 05.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Warum so umständlich ?
In metrischen Räumen ist Stetigkeit das gleiche wie Folgenstetigkeit.
Nimm also eine Folge [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] in XxX, die gegen [mm] (x_0,y_0) [/mm] konvergiert.
Dann:
$ [mm] |d(x_n,y_n)-d(x_0,y_0)| \le d(x_n,x_0)+d(y_n,y_0)=:\alpha_n [/mm] $
Da [mm] (\alpha_n) [/mm] eine Nullfolge ist, bist Du fertig.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Di 05.10.2010 | | Autor: | Arcesius |
Na, das ist ja kürzer.. ^^
Auf jeden Fall vielen Dank für die tolle Hilfe!
Grüsse, Amaro
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