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Abz. Vereinigung abz. Mengen: Erklärung|Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Mi 24.05.2017
Autor: TimeForCoffee

Hallo zusammen,

ich habe mich an einem Beweis der Behauptung "Die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist abzählbar." versucht und glaube einen Fehler gemacht zu haben.

Ich weiß, dass man das (u.a.) auch über das (1.) Cantor'sche Diagonalverfahren beweisen kann. Aber ich wollte mir auch andere Wege ansehen.

Ist es überhaupt möglich die unten beschriebene Behauptung mittels Induktion zu beweisen?

(P) Es darf als wahr angenommen werden, dass die Vereinigung zweier abzählbarer Mengen selbst wieder abzählbar ist.

Behauptung:
Sei [mm] $A_i$ [/mm] für $i [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] abzählbar. Dann ist auch [mm] $\cup_{i \in \mathbb{N}} A_i$ [/mm] abzählbar.

Beweis:
Betrachte [mm] $I_k [/mm] := [mm] \{ n \in \mathbb{N} \mid n \leq k \}$ [/mm] für $k [mm] \in \mathbb{N}$. [/mm] Wir möchten die Behauptung mittels Induktion nach $k$ beweisen.
---
I.A.: Sei $k=1$, dann ist die Behauptung wahr, da [mm] $\cup_{i \in I_{1}} A_i [/mm] = [mm] A_1$ [/mm] abzählbar ist.
I.V.: Sei die Behauptung also wahr für ein $k$.
I.S.: Betrachte [mm] $\cup_{i \in I_{k+1}} A_i [/mm] = [mm] (\cup_{i \in I_{k}} A_i) \cup (\cup_{i \in \{k+1\}} A_i) [/mm] = [mm] (\cup_{i \in I_{k}} A_i) \cup A_{k+1}$. [/mm] Definiere nun $A := [mm] \cup_{i \in I_{k}} A_i$. [/mm] Nach (I.V.) ist $A$ abzählbar und nach (P) ist damit auch $A [mm] \cup A_{k+1} [/mm] = [mm] (\cup_{i \in I_{k}} A_i) \cup A_{k+1} [/mm] = [mm] \cup_{i \in I_{k+1}} A_i$ [/mm] abzählbar.
---
Damit haben wir gezeigt, dass [mm] $\cup_{i \in I_k} A_i$ [/mm] für alle $k [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] abzählbar ist.

Ich vermute, dass der Sprung von "für alle $k [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] wahr für [mm] $I_k$" $\Rightarrow$ [/mm] "wahr für [mm] $\mathbb{N}$" [/mm] schlicht falsch ist?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Abz. Vereinigung abz. Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Mi 24.05.2017
Autor: tobit09

Hallo TimeForCoffee!


> Ich weiß, dass man das (u.a.) auch über das (1.)
> Cantor'sche Diagonalverfahren beweisen kann. Aber ich
> wollte mir auch andere Wege ansehen.

Das finde ich eine gute Herangehensweise! [ok]


> Ist es überhaupt möglich die unten beschriebene
> Behauptung mittels Induktion zu beweisen?

Vermutlich nicht in sinnvoller Weise.
(Irgendwie in völlig unsinniger Weise einen Induktionsbeweis einzubauen, geht theoretisch immer.)


>  Damit haben wir gezeigt, dass [mm]\cup_{i \in I_k} A_i[/mm] für
> alle [mm]k \in \mathbb{N}[/mm] abzählbar ist.

Genau, völlig korrekter Induktionsbeweis. [ok]


> Ich vermute, dass der Sprung von "für alle [mm]k \in \mathbb{N}[/mm]
> wahr für [mm]I_k[/mm]" [mm]\Rightarrow[/mm] "wahr für [mm]\mathbb{N}[/mm]" schlicht
> falsch ist?

So ist es; dieser Schritt ist unbegründet.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
        
Bezug
Abz. Vereinigung abz. Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:53 Do 25.05.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

dass deine Argumentation nicht funktioniert, kannst du dir sehr einfach selbst überlegen:

Du kannst per vollst. Induktion sehr einfach zeigen, dass Mengen der Form [mm] $\{1,\ldots,n\}$ [/mm] endlich sind.

Du hast dann behauptet, dass dann auch [mm] $\{1,\ldots\} [/mm] = [mm] \IN$ [/mm] endlich ist, was aber offensichtlich falsch ist.

D.h. nur weil du per vollständiger Induktion zeigst, dass eine Aussage für alle Elemente [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt, bedeutet das leider nicht, dass sie auch für die Menge [mm] $\IN$ [/mm] gilt.

Gruß,
Gono.

Bezug
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