Abzählbare Basis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei $X$ ein topologischer Raum mit abzählbarer Basis [mm] $O_{i}, \; i\in \IN$. [/mm] Dann existiert zu jeder offenen Überdeckung [mm] $X=\bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha}$ [/mm] eine abzählbare Teilüberdeckung. |
Hallo erstmal
beim Beweis dieses Lemmas haperts ein bisschen.
Also jedes [mm] $U_{\alpha}$ [/mm] lässt sich darstellen als [mm] $U_{\alpha}=\bigcup_{i \in I_{\alpha}} O_{i}$ [/mm] mit [mm] $I_{\alpha} \subseteq \IN [/mm] $
Also ist [mm] $X=\bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha}=\bigcup_{i \in \bigcup_{\alpha} I_{\alpha}}O_{i}$. [/mm]
Setze [mm] $I:=\bigcup_{\alpha} I_{\alpha}$
[/mm]
Für jedes $i [mm] \in [/mm] I$ wähle [mm] $\alpha_{i}$ [/mm] mit $i [mm] \in I_{\alpha_{i}}$ [/mm] also [mm] $O_{i} \subseteq U_{\alpha_{i}}$.
[/mm]
Es folgt
[mm] $X=\bigcup_{i \in I} O_{i} \subseteq \bigcup_{i \in I} U_{\alpha_{i}} \subseteq [/mm] X$
Mein Problem ist, dass ich nicht sehe, das hier nur abzählbar viele [mm] $\alpha_{i}$ [/mm] gebraucht werden. Woran sehe ich das.
Viele Dank für die Hilfe
Blasco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Mo 29.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Blasco!
> Sei [mm]X[/mm] ein topologischer Raum mit abzählbarer Basis [mm]O_{i}, \; i\in \IN[/mm].
> Dann existiert zu jeder offenen Überdeckung
> [mm]X=\bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha}[/mm] eine abzählbare
> Teilüberdeckung.
> Hallo erstmal
>
> beim Beweis dieses Lemmas haperts ein bisschen.
>
> Also jedes [mm]U_{\alpha}[/mm] lässt sich darstellen als
> [mm]U_{\alpha}=\bigcup_{i \in I_{\alpha}} O_{i}[/mm] mit [mm]I_{\alpha} \subseteq \IN[/mm]
>
> Also ist [mm]X=\bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha}=\bigcup_{i \in \bigcup_{\alpha} I_{\alpha}}O_{i}[/mm].
>
> Setze [mm]I:=\bigcup_{\alpha} I_{\alpha}[/mm]
>
> Für jedes [mm]i \in I[/mm] wähle [mm]\alpha_{i}[/mm] mit [mm]i \in I_{\alpha_{i}}[/mm]
> also [mm]O_{i} \subseteq U_{\alpha_{i}}[/mm].
>
> Es folgt
> [mm]X=\bigcup_{i \in I} O_{i} \subseteq \bigcup_{i \in I} U_{\alpha_{i}} \subseteq X[/mm]
>
> Mein Problem ist, dass ich nicht sehe, das hier nur
> abzählbar viele [mm]\alpha_{i}[/mm] gebraucht werden. Woran sehe
> ich das.
Die Menge $I$ ist ja abzaehlbar.
Weiterhin gibt es zu jedem $i [mm] \in [/mm] I$ ein [mm] $\alpha_i$ [/mm] mit [mm] $O_i \subseteq U_{\alpha_i}$. [/mm] Damit ist [mm] $\bigcup_{i \in I} O_i \subseteq \bigcup_{i \in I} U_{\alpha_i}$.
[/mm]
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Mo 29.08.2011 | | Autor: | blascowitz |
Das Brett vorm Kopf hat sich gerade gelöst, danke schön.
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