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Abzählbarkeit: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Do 01.02.2018
Autor: LeFlair

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen abzählbar ist.


Hallo,
Diophant ich glaube ich hab es verstanden.
Um die Aufgabenstellung zu zeigen, muss man eine Abbildung benennen die Bijektiv ist.

Angefangen habe ich mit der Funktionvorschrift $2n-1$ welche ich aber wieder verworfen habe, da diese zwar injektiv, aber nicht surjektiv ist.

Danach kam ich auf diese:
Sei M eine Natürliche ungerade Zahl
$f: M [mm] \to \IN [/mm] , n [mm] \mapsto \bruch{n+1}{2}$ [/mm]

Diese ist sowohl injektiv, als auch surjektiv. Jedes Element aus M kann man nur eines aus [mm] \IN [/mm] zuordnen und es wird auch jedes in [mm] \IN [/mm] getroffen.

Gruß LeFlair

        
Bezug
Abzählbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Do 01.02.2018
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass die Menge aller ungeraden natürlichen
> Zahlen abzählbar ist.
>  
> Hallo,
> Diophant ich glaube ich hab es verstanden.

Hallo Flair,

ich bins, der Fred


>  Um die Aufgabenstellung zu zeigen, muss man eine Abbildung
> benennen die Bijektiv ist.
>  
> Angefangen habe ich mit der Funktionvorschrift [mm]2n-1[/mm] welche
> ich aber wieder verworfen habe, da diese zwar injektiv,
> aber nicht surjektiv ist.

Wenn du,  wie  du es unten getan hast, die Menge der ungeraden Zahlen mit M bezeichnest,

so ist obige Vorschrift eine Bijektion der natürlichen Zahlen auf M.

>  
> Danach kam ich auf diese:
>  Sei M eine Natürliche ungerade Zahl
>  [mm]f: M \to \IN , n \mapsto \bruch{n+1}{2}[/mm]

Das passt.  Dieses f ist die Umkehrfunktion Deiner obigen Vorschrift.

>  
> Diese ist sowohl injektiv, als auch surjektiv. Jedes
> Element aus M kann man nur eines aus [mm]\IN[/mm] zuordnen und es
> wird auch jedes in [mm]\IN[/mm] getroffen.
>  
> Gruß LeFlair


Bezug
        
Bezug
Abzählbarkeit: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Fr 02.02.2018
Autor: LeFlair


Da ich mir in der richtigen Aufschreibweise noch unsicher bin, bitte ich euch einmal drüber zu schauen und zu verbessern falls nötig.
Sei M die Menge aller ungeraden Natürlichen Zahlen und
[mm]f: M \to \IN, n \mapsto \frac{n+1}{2}[/mm]

f sei Injektiv, wenn gilt
[mm]f(x) = f(y) \Rightarrow x = y[/mm]
Sei [mm]f(x) = f(y) \Rightarrow \frac{x+1}{2} = \frac{y+1}{2} \Rightarrow x+1 = y+1 \Rightarrow x = y[/mm] erfüllt die Vorraussetzung und ist somit injektiv!
Frage: Was ich gemacht habe also *2 -1 ist Trivial oder?

f sei surjektiv, wenn gilt:
[mm]f(x) = y[/mm]
[mm] \textrm{Sei } f(x) = \frac{x+1}{2}, \textrm{und sei y} \in \IN[/mm]

[mm]\Rightarrow \frac{x+1}{2} = y \Rightarrow x+1=2y \Rightarrow x=2y-1[/mm]
setzten wir nun in [mm]f(x)[/mm] ein, da [mm]x= 2y-1[/mm]
[mm]\Rightarrow f(2y-1) = \frac{2y-1+1}{2} \Rightarrow \frac{2y}{2} = y \Rightarrow f(x) = y[/mm]
somit Bedingung erfüllt und surrjektiv!

Bijektiv, da f injektiv und surrjektiv ist. [mm]\blacksquare [/mm]

Gruß,
LeFlair

Bezug
                
Bezug
Abzählbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:26 Fr 02.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Da ich mir in der richtigen Aufschreibweise noch unsicher
> bin, bitte ich euch einmal drüber zu schauen und zu
> verbessern falls nötig.

Auch an deinen sprachlichen Ausformulierungen solltest du noch arbeiten.

> Sei M die Menge aller ungeraden Natürlichen Zahlen und
> [mm]f: M \to \IN, n \mapsto \frac{n+1}{2}[/mm]

>

> f sei Injektiv,

was heißt 'sei'? f ist injektiv, wenn folgendes gilt:

> [mm]f(x) = f(y) \Rightarrow x = y[/mm]
> Sei [mm]f(x) = f(y) \Rightarrow \frac{x+1}{2} = \frac{y+1}{2} \Rightarrow x+1 = y+1 \Rightarrow x = y[/mm]
> erfüllt die Vorraussetzung und ist somit injektiv!
> Frage: Was ich gemacht habe also *2 -1 ist Trivial oder?

Unter 'trivial' versteht man etwas völlig anders*. Was du da kommentarlos gemacht hast ist absolut nachvollziehbar und damit in Ordnung.

> f sei surjektiv, wenn gilt:

Sprachlich der leiche Einwand wie oben.

> [mm]f(x) = y[/mm]
> [mm] \textrm{Sei } f(x) = \frac{x+1}{2}, \textrm{und sei y} \in \IN[/mm]

>

> [mm]\Rightarrow \frac{x+1}{2} = y \Rightarrow x+1=2y \Rightarrow x=2y-1[/mm]

>

> setzten wir nun in [mm]f(x)[/mm] ein, da [mm]x= 2y-1[/mm]
> [mm]\Rightarrow f(2y-1) = \frac{2y-1+1}{2} \Rightarrow \frac{2y}{2} = y \Rightarrow f(x) = y[/mm]

>

> somit Bedingung erfüllt und surrjektiv!

Das ist nicht falsch, aber etwas mühsam nachvollziehbar. Du hast gezeigt, dass es für jede natürliche Zahl y eine entsprechende Zahl x gibt und damit die Surjektivität nachgewiesen. Ich hätte hier einfach die Funktionsgleichung nach x aufgelöst, eine kurzte Begründung geschrieben und fertig.

> Bijektiv, da f injektiv und surrjektiv ist. [mm]\blacksquare[/mm]

Ja. [ok]


Gruß, Diophant

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