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(Frage) beantwortet | Datum: | 20:47 Fr 02.06.2006 | Autor: | Trine22 |
Aufgabe | Eine Teilmenge [mm] U\subset\IR [/mm] heißt offen, wenn es zu jedem [mm] a\in\ [/mm] U ein [mm] \epsilon [/mm] größer 0 gibt, so dass
[mm] \left] a-\epsilon , a+\epsilon \right[\subset\ [/mm] U .
Man zeige: Jede offene Teilmenge [mm] U\subset\IR [/mm] ist Vereinigung von abzählbar vielen offenen Intervallen. |
Hallo, ich würde mich total freuen wenn mir dabei jemand helfen könnte,
ich habe keine Ahnung wie ich da ran gehen soll.
Danke
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(Antwort) fertig | Datum: | 21:01 Fr 02.06.2006 | Autor: | felixf |
Hallo Trine!
> Eine Teilmenge [mm]U\subset\IR[/mm] heißt offen, wenn es zu jedem
> [mm]a\in\[/mm] U ein [mm]\epsilon[/mm] größer 0 gibt, so dass
> [mm]\left] a-\epsilon , a+\epsilon \right[\subset\[/mm] U .
> Man zeige: Jede offene Teilmenge [mm]U\subset\IR[/mm] ist
> Vereinigung von abzählbar vielen offenen Intervallen.
> Hallo, ich würde mich total freuen wenn mir dabei jemand
> helfen könnte,
> ich habe keine Ahnung wie ich da ran gehen soll.
Also zu jedem $x [mm] \in [/mm] U$ hast du ein [mm] $\varepsilon(x) [/mm] > 0$ mit [mm] $\left]x - \varepsilon(x), x + \varepsilon(x)\right[ \subseteq [/mm] U$.
Zeige nun, dass $U = [mm] \bigcup_{x\in U \cap \IQ} \left]x - \varepsilon(x), x + \varepsilon(x)\right[$ [/mm] ist. Die Menge $U [mm] \cap \IQ \subseteq \IQ$ [/mm] ist offensichtlich abzaehlbar.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | Datum: | 17:31 So 04.06.2006 | Autor: | Trine22 |
Also, da U [mm] \subset \IR [/mm] und [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR, [/mm] kann ich mein a aus [mm] U\cap \IQ [/mm] wählen. Daraus würde folgen, das
U= [mm] \bigcup_{a\in U\cap \IQ} \left ] a-\epsilon , a+\epsilon \right [/mm] [
Und weil [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist, und [mm] a\in \IQ [/mm] ist U Vereinigung aus abzählbar vielen Intervallen.
Ist das richtig so oder muß ich da noch mehr zeigen?
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(Antwort) fertig | Datum: | 20:17 So 04.06.2006 | Autor: | felixf |
> Also, da U [mm]\subset \IR[/mm] und [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR,[/mm] kann ich mein
> a aus [mm]U\cap \IQ[/mm] wählen. Daraus würde folgen, das
> U= [mm]\bigcup_{a\in U\cap \IQ} \left ] a-\epsilon , a+\epsilon \right[ [/mm]
Was genau ist $a$? Und wieso kannst du $a$ aus $U [mm] \cap \IQ$ [/mm] waehlen? Das musst du schon ausfuehrlicher begruenden!
> Und weil [mm]\IQ[/mm] abzählbar ist, und [mm]a\in \IQ[/mm] ist U Vereinigung
> aus abzählbar vielen Intervallen.
Genau.
LG Felix
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