Abzählbarkeit < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 So 05.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie, ob die Menge aller irrationalen reellen Zahlen abzählbar oder überabzählbar ist |
Hallo, mein Ansatz wäre der Folgende:
Beh.: [mm] \IR \setminus \IQ [/mm] ist überabzählbar
Bew: Es gilt: [mm] \IR [/mm] = [mm] \IR \setminus \IQ \cup \IQ [/mm] und [mm] \IR [/mm] ist überabzählbar.
Angenommen [mm] \IR \setminus \IQ [/mm] wäre abzählbar, dann wäre auch [mm] \IR [/mm] abzählbar, da [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist und wir wissen, dass die Vereinigung endlich vieler abzählbarer Mengen wieder abzählbar ist.
Also ist [mm] \IR \setminus \IQ [/mm] überabzählbar. [mm] \Box
[/mm]
Stimmt das soweit?
Und falls ja, könnte man das sogar auf ein Lemma erweitern der Form:
Sei A eine überabzählbare Menge und B eine abzählbare Teilmenge von A, dann ist A [mm] \setminus [/mm] B überabzählbar?
Viele Grüße
|
|
| |
|
Hiho,
sofern ihr schon hattet, dass [mm] \IR [/mm] überabzählbar und [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist, die Vereinigung abzählbarer Mengen abzählbar ist, stimmt dein Beweis.
Und ja, man kann ihn auch in die gewünschte Form erweitern, der Beweis erfolgt dann analog.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Mo 06.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank schonmal, allerdings is mir in dem allgemeinen Fall also: Sei A eine überabzählbare Menge und B eine abzählbare Teilmenge von A, dann ist A [mm] \setminus [/mm] B überabzählbar, eines noch nicht ganz klar: Ich kann zwar nachweisen, dass A [mm] \setminus [/mm] B nicht abzählbar sein kann, aber woher weiß ich denn, dass A [mm] \setminus [/mm] B nicht endlich sein kann. Gut, im konkreten Fall [mm] \IR \setminus \IQ [/mm] weiß ich, dass es unendlich viele irrationale reellen Zahlen gibt, aber hier fehlt mir jetzt die Idee für den allgemeinen Fall. Könnt mir da eventuell jmd. nen Tipp geben? Vielen Dank schon mal im voraus.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Mo 06.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Wenn A \ B endlich wäre, dann ist doch, da B abzählbar ist,
A = (A \ B) [mm] \cup [/mm] B
abzählbar.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Mo 06.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
logisch, mensch, dass ich da nicht drauf kam
|
|
|
|
