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| Aufgabe | Sei A [mm] \not= \emptyset [/mm] und f: [mm] \IN \to [/mm] A surjektiv.
z.z.: A ist abzählbar |
Mein Ansatz:
f ist surjektiv [mm] \Rightarrow \IN [/mm] > A
[mm] \IN [/mm] ist abzählbar [mm] \Rightarrow [/mm] A ist abzählbar.
Richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei A [mm]\not= \emptyset[/mm] und f: [mm]\IN \to[/mm] A surjektiv.
> z.z.: A ist abzählbar
> Mein Ansatz:
>
> f ist surjektiv [mm]\Rightarrow \IN[/mm] > A
Was soll [mm] \IN [/mm] > A bedeuten ??
> [mm]\IN[/mm] ist abzählbar [mm]\Rightarrow[/mm] A ist abzählbar.
>
> Richtig?
Na, ja ?
Warum machst Du es nicht so:
f surjektiv, also:
$A= [mm] \{f(1),f(2), f(3), ... \}$
[/mm]
FRED
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Wenn f surjektiv ist, dann wird in A doch jeder Wert min. einmal angenomen, und deshalb ist die Anzahl der Elemente in A doch kleiner als in [mm] \IN [/mm] , oder?
Das meinte ich mit [mm] \IN [/mm] > A.
Und dann ist doch klar, dass auch A abzählbar sein muss, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Wenn f surjektiv ist, dann wird in A doch jeder Wert min.
> einmal angenomen, und deshalb ist die Anzahl der Elemente
> in A doch kleiner als in [mm]\IN[/mm] , oder?
Was heißt "kleiner" ?
Du sollst doch gerade zeigen, dass [mm] \IN [/mm] und A gleichmächtig sind
FRED
> Das meinte ich mit [mm]\IN[/mm] > A.
> Und dann ist doch klar, dass auch A abzählbar sein muss,
> oder?
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Ich dachte, gleichmächtig können sie nur sein, wenn es sich um eine Bijektion handelt. Ich soll doch nur zeigen, dass A abzählbar ist.
Als Bsp für eine surjektive Abbildung könnte ich doch sagen:
[mm] \IN [/mm] gerade [mm] \to [/mm] 0 und [mm] \IN [/mm] ungerade [mm] \to [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] A={0;1} [mm] \Rightarrow |\IN| [/mm] >|A| und weil [mm] \IN [/mm] abzählbar ist auch A abzählbar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Ich dachte, gleichmächtig können sie nur sein, wenn es
> sich um eine Bijektion handelt. Ich soll doch nur zeigen,
> dass A abzählbar ist.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Du sollst doch zeigen, dass $A$ abzählbar ist.
Also ist zu zeigen, dass $A$ endlich ist oder abzählbar unendlich ist.
Jetzt könntest du eine Fallunterscheidung machen:
Fall 1: $A$ endlich
In diesem Fall ist $A$ per Definition abzählbar.
Fall 2: $A$ nicht endlich
Hier ist nun zu zeigen, dass $A$ abzählbar unendlich ist.
Eine Menge $A$ heißt abzählbar unendlich (laut eurer Vorlesung bei Prof. Wittbold, nehme ich an), wenn $A$ gleichmächtig ist zu der Menge [mm] $\IN$ [/mm] der natürlichen Zahlen. Gleichmächtigkeit zweier Mengen wiederum heißt, dass eine bijektive Abbildung zwischen den Mengen existiert.
Du musst also argumentieren, ob es eine bijektive Abbildung gibt zwischen [mm] $\IN$ [/mm] und $A$.
Dass es eine surjektive Abbildung gibt, ist als Voraussetzung in der Aufgabenstellung gegeben.
> Als Bsp für eine surjektive Abbildung könnte ich doch
> sagen:
>
> [mm]\IN[/mm] gerade [mm]\to[/mm] 0 und [mm]\IN[/mm] ungerade [mm]\to[/mm] 1 [mm]\Rightarrow[/mm] A={0;1}
> [mm]\Rightarrow |\IN|[/mm] >|A| und weil [mm]\IN[/mm] abzählbar ist auch A
> abzählbar
Es hat lange gebraucht, bis ich verstanden hatte, was du mit [mm] "$\IN$ [/mm] gerade" meinst; du meinst es glaube ich so:
Gegeben: [mm] $A:=\{0,1\}$
[/mm]
$f:\ [mm] \IN\to [/mm] A$
[mm] $f(n):=\begin{cases} 0 &, \text{ falls }n\text{ gerade }\\
1 &, \text{ falls }n\text{ ungerade }\end{cases}$
[/mm]
Es stimmt, so könnten das $f$ und das $A$ aus der Aufgabenstellung aussehen. Das ist aber kein besonders interessantes Beispiel, da in diesem Fall A endlich ist und damit A per Definition abzählbar ist.
Also nochmal prägnant, was für dich als nächstes zu überlegen ist:
Argumentiere, dass es im Fall 2 (s.o.) eine bijektive Abbildung [mm] $\IN\to [/mm] A$ gibt.
Viele Grüße,
Marc
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