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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Krone |
| Aufgabe | Untersuchen sie, welche der folgenden Mengen abzählbar sind und beweisen sie Ihre Behauptung. Geben sie im Falle der Abzählbarkeit eine Abbildung wie in der Definition gefordert an und weisen sie deren Bijektivität nach.
a)M1 = { [mm] n\in \IN [/mm] | n=2k für ein k [mm] \in \IN [/mm] }
b)M2 = { [mm] n\in \IN [/mm] | [mm] n\not=3k [/mm] für ein k [mm] \in \IN [/mm] }
c)M3 = { [mm] (-1)^{n}|n \in \IN [/mm] }
d)M4 = { [mm] \bruch{1}{n}| [/mm] n=2k für ein k [mm] \in \IN [/mm] und [mm] n\not=3r [/mm] für ein r [mm] \in \IN [/mm] } |
Huhu,
also Aufgabe a ist mir klar, da hab ich auch die Bijektive Abbildung gefunden.
Aber bei b geht der Spaß los ...
Ich weiss, dass die Menge abzählbar ist (sind ja die Elemente 1,2,4,5,7,8, ...)
aber ich weiss nicht wie ich eine bijektive Abbildung bilden soll.
in der a) war es ja x -> 2x, hier geht das ja nicht.
bei der c) weiss ich nicht, ob die Menge abzählbar oder endlich ist.
Zum einen gibt es ja nur die beiden Häufungspunkte -1 und 1 (spricht für endlich), zum anderen kann ich die bei n-> unendlich die Punkte ja unendlich oft hintereinander aufzuschreiben.
Also: -1,1,-1,1,-1,1, ...
das spricht ja eher für abzählbar. Bringt mich echt zur Verzweiflung.
Bei d hab ich eigentlich dasselbe Problem wie bei b.
Hoffe, dass mir wer auf die Sprünge helfen kann.
gruß 
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Es gilt doch, dass du "gleiche Elemente einer Menge nur einmal aufschreibst"
Bsp.: [mm] \{-1,1,-1,1,-1\} =\{1,-1\} [/mm] Also ist auch deine Menge aus c gleich der Menge [mm] \{-1,1\} [/mm] .
Du kannst das auch noch begründen, indem zu sagst, dass für alle Geraden n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] (-1)^{n} [/mm] = 1 und für alle ungeraden n =-1 ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Krone |
> Es gilt doch, dass du "gleiche Elemente einer Menge nur
> einmal aufschreibst"
>
> Bsp.: [mm]\{-1,1,-1,1,-1\} =\{1,-1\}[/mm] Also ist auch deine Menge
> aus c gleich der Menge [mm]\{-1,1\}[/mm] .
>
> Du kannst das auch noch begründen, indem zu sagst, dass
> für alle Geraden n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm](-1)^{n}[/mm] = 1 und für
> alle ungeraden n =-1 ist.
Ah okay danke, das war genau das was ich dazu wissen wollte.
Weil ich halt nicht wusste ob man die Elemente nur einmal aufschreibt oder ob man sie auch unendlich oft aufschreiben kann (dann wärs ja abzählbar).
Und bei den anderen Aufgaben? Kann mir da noch jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Mi 08.12.2010 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin!
> Untersuchen sie, welche der folgenden Mengen abzählbar
> sind und beweisen sie Ihre Behauptung. Geben sie im Falle
> der Abzählbarkeit eine Abbildung wie in der Definition
> gefordert an und weisen sie deren Bijektivität nach.
>
> a)M1 = { [mm]n\in \IN[/mm] | n=2k für ein k [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> b)M2 = { [mm]n\in \IN[/mm] | [mm]n\not=3k[/mm] für ein k [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> c)M3 = { [mm](-1)^{n}|n \in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> d)M4 = { [mm]\bruch{1}{n}|[/mm] n=2k für ein k [mm]\in \IN[/mm] und
> [mm]n\not=3r[/mm] für ein r [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Huhu,
>
> also Aufgabe a ist mir klar, da hab ich auch die Bijektive
> Abbildung gefunden.
> Aber bei b geht der Spaß los ...
> Ich weiss, dass die Menge abzählbar ist (sind ja die
> Elemente 1,2,4,5,7,8, ...)
> aber ich weiss nicht wie ich eine bijektive Abbildung
> bilden soll.
> in der a) war es ja x -> 2x, hier geht das ja nicht.
Ja, so einfach geht das hier nicht. Da musst du etwas mehr tun.
Mach doch zum Beispiel eine Art Fallunterscheidung: $g : \IN \to M_2$, $x \mapsto \begin{cases} ... & \text{falls } x = 2 k - 1 \text{ mit } k \in \IN, \\ ... & \text{falls } x = 2 k \text{ mit } k \in \IN \end{cases}$ -- die "..." musst du jetzt passend ausfuellen.
Die $1 = 2 \cdot 1 - 1$ kannst du etwa auf die $1 = 3 \cdot 1 - 2$ abbilden, die $2 = 2 \cdot 1$ etwa auf die $2 = 3 \cdot 1 - 1$, die $3 = 2 \cdot 2 - 1$ auf die $4 = 3 \cdot 2 - 2$, die $4 = 2 \cdot 2$ auf die $5 = 3 \cdot 2 - 1$, etc.
Wenn du das hast, bekommst du eventuell auch eine Loesung zu d), deswegen sage ich dazu erstmal nichts weiteres. Bei d) wird's hoechstens etwas komplizierter (d.h. mehr Auswahl bei der Fallunterscheidung), die Idee ist sonst im wesentlichen die gleiche wie bei b).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Krone |
hmm ich versteh jetzt nicht wieso ich bei der b eine Fallunterscheidung zwischen k gerade und k ungerade machen muss ... was spielt das denn hier für eine Rolle?
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Hallo Krone,
selbst denken macht schlau.
Felix hat Dir gesagt, dass Du eine Fallunterscheidung brauchst (eine Alternative s.u.).
Die Liste der vorkommenden Elemente hast Du doch selbst schon vorgelegt. Gemäß Vorschrift kommen darin keine Zahlen vom Typ 3k vor. Also kann es nur solche geben, die entweder die Form 3k-1 oder die Form 3k-2 haben.
Und denen sollst Du jetzt allen eine Ordinalzahl zuweisen.
Die 1. Zahl ist die 1 (Typ 3k-2, k=1).
Die 2. Zahl ist die 2 (Typ 3k-1, k=1).
Die 3. Zahl ist die 4 (Typ 3k-2, k=2).
Die 4. Zahl ist die 5 (Typ 3k-1, k=2).
etc.
Damit solltest Du doch schon eine Funktionsvorschrift konstruieren können (eben mit Fallunterscheidung), die eine bijektive Zuordnung erzeugt.
Alternativ kannst Du auch mit Gaußklammern agieren. Offenbar wird in der zu untersuchenden Menge ja im Vergleich zu den natürlichen Zahlen jedes dritte Element gestrichen, so dass (auf den ersten Blick) also nur [mm] \tfrac{2}{3} [/mm] der Zahlen übrig bleiben. Das ist auch auf den zweiten und n-ten Blick noch so, sagt aber eben nichts über die Anzahl der Elemente aus.
Ist nun z ein Element der Menge, so wird die zugehörige Ordinalzahl n durch eine solche Funktion zu finden sein:
[mm] n=\left\lfloor \bruch{2}{3}z+c\right\rfloor
[/mm]
Dazu muss ein geeignetes c gefunden werden. Es gibt natürlich unendlich viele davon.
Diese Variante braucht in der Notation zwar keine Fallunterscheidung, dafür wird sie dann aber in der Untersuchung der Bijektivität aber doch notwendig. Insofern bringt Dir diese Fassung keine wirkliche Ersparnis.
Ich bevorzuge daher den Weg, den Felix vorschlägt, mit den kleinen Änderungen hier oben.
Grüße
reverend
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