Abzählbarkeitsaxiom, Topologie < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Fr 19.10.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei X ein metrischer Raum mit Metrik d.
1) Zeige die Topologie auf X erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom. |
Hallo,
bei der Aufgabe habe ich große Probleme. Ich hab zwar die Definitionen von Metrik, Topologie, Abzählbarkeitsaxiom , Umgebungsbasis vor mir, aber wie der Beweis funktionieren sollte ist mir nicht klar.
[mm] \beta [/mm] (x) = [mm] \{ (x- 1/n , x+1/n) : n \in \IN \} [/mm] ist eine Umgebungsbasis für x [mm] \in \IR [/mm] .
Und nehme [mm] \IR [/mm] mit der üblichen Metrik d(x,y)=|x-y|
Und jeder Punkt in X besitzt eine abzählbare Umgebungsbasis, da rationalen zahlen abzählbar sind.
Aber das wäre ja nur ein Bsp.. Wie mache ich das algemein=?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Fr 19.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> [mm]\beta[/mm] (x) = [mm]\{ (x- 1/n , x+1/n) : n \in \IN \}[/mm] ist eine
> Umgebungsbasis für x [mm]\in \IR[/mm] .
> Und nehme [mm]\IR[/mm] mit der üblichen Metrik d(x,y)=|x-y|
Genau.
> Und jeder Punkt in X besitzt eine abzählbare
> Umgebungsbasis, da rationalen zahlen abzählbar sind.
Was hat das jetzt mit der Abzählbarkeit der rationalen Zahlen zu tun? Bist du irgendwie ins zweite Abzählbarkeitsaxiom gerutscht?
> Aber das wäre ja nur ein Bsp.. Wie mache ich das
> algemein=?
Fast genauso. Die Intervalle der Form $(x- 1/n , x+1/n)$ kannst du auch als
$(x- 1/n , [mm] x+1/n)=\{y\in\IR\;|\;d(x,y)<\bruch1n\}$
[/mm]
schreiben. Letzteren Ausdruck kannst du für beliebige metrische Räume X anstelle von [mm] $\IR$ [/mm] abwandeln.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Fr 19.10.2012 | | Autor: | sissile |
Hei danke
> Und jeder Punkt in X besitzt eine abzählbare
> Umgebungsbasis
Was ist den die Begründung zu dieser aussage?
Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Fr 19.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Und jeder Punkt in X besitzt eine abzählbare
> > Umgebungsbasis
> Was ist den die Begründung zu dieser aussage?
Du warst im Beispiel [mm] $X=\IR$. [/mm] Da hast du zu einem beliebigen Punkt [mm] $x\in\IR$ [/mm] eine abzählbare Umgebungsbasis explizit angegeben, nämlich
$ [mm] \{ (x- 1/n , x+1/n) : n \in \IN \}$.
[/mm]
Diese Menge ist (im Gegensatz zu ihren Elementen) abzählbar, da [mm] $\IN$ [/mm] abzählbar ist.
Dass die Menge tatsächlich eine Umgebungsbasis bildet, müsstest du natürlich nachweisen.
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