Achilles und die Schildkröte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 So 25.11.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Achilles und die Schildkröte fangen an zu laufen. Achilles läuft mit 5 km/h (zugegeben: Achilles ist dick und faul). Die Schildkröte läuft mit 1 km/h und hat am Anfang einen Vorsprung zu Achilles. Bevor Achilles die Schildkröte überholen kann, muss er zuerst ihren Vorsprung einholen. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleinenren Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls einholen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen noch kleineren Vorsprunh gewonnen, und so weiter. Der Vorsprung, den die Schildkröte hat, wird zwar immer kleiner, bleibt aber dennoch immer ein Vorsprung.
a) Begründen Sie, dass Achilles, wenn er zum n-ten Mal den Vorsprung der Schildkröte einholt, die Zeit [mm] t_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} (1/5)^{n} [/mm] gebraucht und die Strecke [mm] s_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n-1} [/mm] zurückgelegt hat.
b) Berechnen Sie durch Grenzwertbetrachung (mathematischer Ansatz), wie lange Achilles braucht, um die Schildkräte einzuholen und wie weit er dann gelaufen ist.
c) Stellen Sie eine Gleichung auf (physikalischer Ansatz) um den Zeitpunkt des Einholes zu bestimmen. Rechnen Sie damit die Strecke aus, die Achilles zu diesem Zeitpunkt zurückgelegt hat.
Verallgemeinern Sie dieses Argument für den Fall, dass Achilles mit einer beiebigen konstanten Geschwindigkeit > 1km/h läuft. Geben Sie damit ein neues Argument für die Formel:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} a^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-a}, [/mm] 0 < a < 1 |
Bei dieser Aufgabe habe ich die die Teilaufgabe a) und b) bereits erledigt und bei c) den Teil mit dem physikalischen Ansatz auch schon gelöst.
Jetzt stehe ich fragend vor der Verallgemeinerung und habe kleinen Schimmer, wie ich da vorzugehen habe.
Ich hoffe auf Tipps,
grüße,
zjay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Achilles und die Schildkröte fangen an zu laufen. Achilles
> läuft mit 5 km/h (zugegeben: Achilles ist dick und faul).
> Die Schildkröte läuft mit 1 km/h und hat am Anfang einen
> Vorsprung zu Achilles. Bevor Achilles die Schildkröte
> überholen kann, muss er zuerst ihren Vorsprung einholen.
> In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte
> aber einen neuen, wenn auch kleinenren Vorsprung gewonnen,
> den Achilles ebenfalls einholen muss. Ist ihm auch das
> gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen noch
> kleineren Vorsprunh gewonnen, und so weiter. Der Vorsprung,
> den die Schildkröte hat, wird zwar immer kleiner, bleibt
> aber dennoch immer ein Vorsprung.
>
> a) Begründen Sie, dass Achilles, wenn er zum n-ten Mal den
> Vorsprung der Schildkröte einholt, die Zeit [mm]t_{n}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{n} (1/5)^{n}[/mm] gebraucht und die Strecke [mm]s_{n}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{n-1}[/mm] zurückgelegt hat.
da fehlt nach "die Strecke" beim Summenzeichen etwas: Was ist denn
[mm] $\sum_{k=0}^{n-1}$?
[/mm]
> b) Berechnen Sie durch Grenzwertbetrachung (mathematischer
> Ansatz), wie lange Achilles braucht, um die Schildkräte
> einzuholen und wie weit er dann gelaufen ist.
> c) Stellen Sie eine Gleichung auf (physikalischer Ansatz)
> um den Zeitpunkt des Einholes zu bestimmen. Rechnen Sie
> damit die Strecke aus, die Achilles zu diesem Zeitpunkt
> zurückgelegt hat.
>
> Verallgemeinern Sie dieses Argument für den Fall, dass
> Achilles mit einer beiebigen konstanten Geschwindigkeit >
> 1km/h läuft. Geben Sie damit ein neues Argument für die
> Formel:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-a},[/mm] 0 < a < 1
> Bei dieser Aufgabe habe ich die die Teilaufgabe a) und b)
> bereits erledigt und bei c) den Teil mit dem physikalischen
> Ansatz auch schon gelöst.
>
> Jetzt stehe ich fragend vor der Verallgemeinerung und habe
> kleinen Schimmer, wie ich da vorzugehen habe.
>
> Ich hoffe auf Tipps,
es geht Dir also nur um die Verallgemeinerung? Naja, "leicht abzuhandeln"
ist der Fall, dass die Schildkröte mit [mm] $\ge [/mm] 5$km/h läuft - warum?
Und wenn nun die Schildkröte mit [mm] $v\,$ [/mm] km/h läuft, wobei $0 < v < [mm] 5\,,$ [/mm]
dann schau' doch mal, was Du vorher gemacht hattest:
Für [mm] $v=1\,$ [/mm] standen da Rechnungen, wobei das Verhältnis
[mm] $$\frac{v \text{ km/h}}{5 \text{ km/h}}=v/5=1/5$$
[/mm]
einging...
(Beachte auch: $0 < v < 5 [mm] \gdw [/mm] 0 < v/5 < [mm] 1\,.$)
[/mm]
Nebenbei:
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty a^k=\frac{1}{1-a}$$
[/mm]
gilt "sogar" für $0 [mm] \blue{\;\le\;} [/mm] a < [mm] 1\,.$
[/mm]
(Eigentlich sogar für alle $a [mm] \in \IC$ [/mm] mit $0 [mm] \le [/mm] |a| < [mm] 1\,.$)
[/mm]
P.S. Was mich gerade irritiert ist, dass da nicht steht, dass die
Verallgemeinerung gelten soll für eine beliebige konstante Geschwindigkeit
der Schildkröte $> 0$ km/h. Da steht ja $> [mm] 1\,$ [/mm] km/h. Aber eigentlich sollte
das doch alles kein Problem darstellen, schau' halt, wo bei Deinen
vorherigen Überlegungen/Rechnungen [mm] $v=1\,$ [/mm] eingegangen ist...
Edit/Hinweis: Wie zjay bereits feststellte hatte ich die Aufgabe nicht
genau genug gelesen: Natürlich steht da nichts davon, dass die Schildkröte
eine andere Geschwindigkeit habe, sondern es geht um den Fall, dass
Achilles eine konstante Geschwindigkeit $> [mm] 1\,$ [/mm] km/h habe. Das macht
auch insofern dann Sinn, weil Achilles die Schildkröte nur einholen kann,
wenn er auch schneller als sie läuft...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 So 25.11.2012 | | Autor: | zjay |
es geht Dir also nur um die Verallgemeinerung? Naja, "leicht abzuhandeln"
ist der Fall, dass die Schildkröte mit [mm] $\ge [/mm] 5$km/h läuft - warum?
Und wenn nun die Schildkröte mit [mm] $v\,$ [/mm] km/h läuft, wobei $0 < v < [mm] 5\,,$ [/mm]
dann schau' doch mal, was Du vorher gemacht hattest:
Für [mm] $v=1\,$ [/mm] standen da Rechnungen, wobei das Verhältnis
[mm] $$\frac{v \text{ km/h}}{5 \text{ km/h}}=v/5=1/5$$ [/mm]
einging...
(Beachte auch: $0 < v < 5 [mm] \gdw [/mm] 0 < v/5 < [mm] 1\,.$) [/mm]
Nebenbei:
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty a^k=\frac{1}{1-a}$$ [/mm]
gilt "sogar" für $0 [mm] \blue{\;\le\;} [/mm] a < [mm] 1\,.$ [/mm]
(Eigentlich sogar für alle $a [mm] \in \IC$ [/mm] mit $0 [mm] \le [/mm] |a| < [mm] 1\,.$) [/mm]
P.S. Was mich gerade irritiert ist, dass da nicht steht, dass die
Verallgemeinerung gelten soll für eine beliebige konstante Geschwindigkeit
der Schildkröte $> 0$ km/h. Da steht ja $> [mm] 1\,$ [/mm] km/h. Aber eigentlich sollte
das doch alles kein Problem darstellen, schau' halt, wo bei Deinen
vorherigen Überlegungen/Rechnungen [mm] $v=1\,$ [/mm] eingegangen ist...
Ja, du hast Recht. Ich habe oben tatsächlich was vergessen. Aber das ist ja auch nicht das wichtige. Ich wollte es anfangs nur der Vollständigkeit halber aufschreiben.
Warum denn jetzt die Schildkröte? Es geht doch um Achilles?!
Aber wenn ich deinen Ansatz mit dem Verhältnis der Geschwindigkeit der Schildkröte zur Geschwindigkeit von Achilles übernehme, hätte ich
[mm] \bruch{1 km/h}{v km/h} [/mm] mit v > 1
Meine größte Schwierigkeit bei dieser Aufgabe war die Aufgabenstellung selbst: Was ist mit "verallgemeinern Sie dieses Argument" gemeint? Meint man mit Argument die Formel [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-a} [/mm] ? Und was ich noch weniger verstehe ist "Geben Sie damit ein neues Argument für die Formel" (s.o.).
.
.
.
Update: habe jetzt recherchiert, was Argument bedeutet. In meinem Fall ist a wohl das Argument.
Die Aufgabe sagt mir jetzt natürlich mehr.
ich definiere [mm] a^{k} [/mm] := 1/b mit b > 1, wobei b Achilles Geschwindigkeit entspricht.
Folglich gilt [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{b} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1- \bruch{1}{b}} [/mm] = [mm] \bruch{b}{1-b}
[/mm]
Ist dies eine Verallgemeinerung? Die erwarten hier nicht viel, da es auf diese Teilaufgabe nur 3 Punkte gibt.
mfg
zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo zjay,
> es geht Dir also nur um die Verallgemeinerung? Naja,
> "leicht abzuhandeln"
> ist der Fall, dass die Schildkröte mit [mm]\ge 5[/mm]km/h läuft -
> warum?
>
> Und wenn nun die Schildkröte mit [mm]v\,[/mm] km/h läuft, wobei [mm]0 < v < 5\,,[/mm]
> dann schau' doch mal, was Du vorher gemacht hattest:
> Für [mm]v=1\,[/mm] standen da Rechnungen, wobei das Verhältnis
> [mm]\frac{v \text{ km/h}}{5 \text{ km/h}}=v/5=1/5[/mm]
> einging...
> (Beachte auch: [mm]0 < v < 5 \gdw 0 < v/5 < 1\,.[/mm])
> Nebenbei:
> [mm]\sum_{k=0}^\infty a^k=\frac{1}{1-a}[/mm]
> gilt "sogar" für [mm]0 \blue{\;\le\;} a < 1\,.[/mm]
>
> (Eigentlich sogar für alle [mm]a \in \IC[/mm] mit [mm]0 \le |a| < 1\,.[/mm])
>
> P.S. Was mich gerade irritiert ist, dass da nicht steht,
> dass die
> Verallgemeinerung gelten soll für eine beliebige konstante
> Geschwindigkeit
> der Schildkröte [mm]> 0[/mm] km/h. Da steht ja [mm]> 1\,[/mm] km/h. Aber
> eigentlich sollte
> das doch alles kein Problem darstellen, schau' halt, wo bei
> Deinen
> vorherigen Überlegungen/Rechnungen [mm]v=1\,[/mm] eingegangen
> ist...
>
> Ja, du hast Recht. Ich habe oben tatsächlich was
> vergessen. Aber das ist ja auch nicht das wichtige. Ich
> wollte es anfangs nur der Vollständigkeit halber
> aufschreiben.
>
> Warum denn jetzt die Schildkröte? Es geht doch um
> Achilles?!
ich wollte nur mal testen, ob Du aufpasst. 
Nein, im Ernst, ich hatte nur das $> [mm] 1\,$ [/mm] km/h gelesen und nicht
aufgepasst, dass es um Achiles geht. Aber prinzipiell sollten das doch
gleiche Überlegungen sein, von daher...
>
> Aber wenn ich deinen Ansatz mit dem Verhältnis der
> Geschwindigkeit der Schildkröte zur Geschwindigkeit von
> Achilles übernehme, hätte ich
>
> [mm]\bruch{1 km/h}{v km/h}[/mm] mit v > 1
>
> Meine größte Schwierigkeit bei dieser Aufgabe war die
> Aufgabenstellung selbst: Was ist mit "verallgemeinern Sie
> dieses Argument" gemeint? Meint man mit Argument die Formel
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-a}[/mm] ? Und was ich
> noch weniger verstehe ist "Geben Sie damit ein neues
> Argument für die Formel" (s.o.).
>
> .
> .
> .
>
> Update: habe jetzt recherchiert, was Argument bedeutet. In
> meinem Fall ist a wohl das Argument.
>
> Die Aufgabe sagt mir jetzt natürlich mehr.
>
> ich definiere [mm]a^{k}[/mm] := 1/b mit b > 1, wobei b Achilles
> Geschwindigkeit entspricht.
Wieso [mm] $a^k$? [/mm] Wolltesgt Du [mm] $a=1/b\,$ [/mm] setzen und dann [mm] $a^k=1/b^k$
[/mm]
schreiben? Ich bin nämlich gerade nicht mehr ganz in Deinen Notationen.
>
>
> Folglich gilt [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{b}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1- \bruch{1}{b}}[/mm] = [mm]\bruch{b}{1-b}[/mm]
Ne, [mm] $\sum_{k=0}^\infty [/mm] 1/b$ wäre ein sehr schlechter Ausdruck, wenn
[mm] $b\,$ [/mm] konstant - insbesondere von [mm] $k\,$ [/mm] unabhängig - ist.
Was gelten würde ist
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty 1/b^k=\sum_{k=0}^\infty (1/b)^k=\frac{1}{1-1/b}$$
[/mm]
und das wäre [mm] $=\frac{b}{\red{b-1}}\,.$ [/mm] Du hast da oben im Nenner die
Vorzeichen falsch!
>
> Ist dies eine Verallgemeinerung? Die erwarten hier nicht
> viel, da es auf diese Teilaufgabe nur 3 Punkte gibt.
Joa. Aber kannst Du mir nochmal den Gefallen tun, und das ganze wirklich
sauber aufschreiben? Denn da wird sicher keine [mm] $\sum_k [/mm] 1/b$ so
vorkommen... s.o.!
Ansonsten Sorry für meine Verwechslung von Achilles mit der Schildkröte.
Nebenbei: Wenn Du auf den "Zitieren-Knopf" beim Antworten drückst,
brauchst Du nicht meinen Text von Hand kopieren und vor allem nicht
Deinen neuen Text "fettgedruckt" zu schreiben.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 So 25.11.2012 | | Autor: | zjay |
Hallo.
Ja klar, hier die "Reinschrift"
An einer wichtigen Stelle hatte ich mir blöderweise vertippt. Statt [mm] a^{k} [/mm] meinte ich [mm] a_{k}. [/mm] Hab wohl gedankenverloren das falsche getippt.
Ich wollte es verallgemeinern, indem ich [mm] a_{k} [/mm] := 1/b mit b > 1 setze.
b steht für Achilles Geschwindigkeit.
In die Gleichung eingesetzt ergibt dies
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] 1/b = [mm] \bruch{1}{1- \bruch{1}{b}} [/mm] mit b > 0.
Funktioniert das? Ich gucke mir jetzt nochmal deine Notizen durch und überlege, ob ich daran was ändern muss/kann.
Gruß,
zjay
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo.
>
> Ja klar, hier die "Reinschrift"
>
> An einer wichtigen Stelle hatte ich mir blöderweise
> vertippt. Statt [mm]a^{k}[/mm] meinte ich [mm]a_{k}.[/mm] Hab wohl
> gedankenverloren das falsche getippt.
>
> Ich wollte es verallgemeinern, indem ich [mm]a_{k}[/mm] := 1/b mit b
> > 1 setze.
>
> b steht für Achilles Geschwindigkeit.
>
> In die Gleichung eingesetzt ergibt dies
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm] 1/b = [mm]\bruch{1}{1- \bruch{1}{b}}[/mm] mit
> b > 0.
na, zum einen gilt [mm] $\sum_{k=\red{1}}^\infty q^k=q/(1-q)\,,$ [/mm] Du willst
aber [mm] $\sum_{k=\red{0}}^\infty q^k=1/(1-q)$ [/mm] für $|q| < 1$ benutzen.
Achte also auf den unteren Index.
Und zum anderen: Nach wie vor:
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty 1/b=\lim_{n \to \infty}\underbrace{(1/b+1/b+1/b+...+1/b)}_{n+1\text{ Summanden!}}=\lim_{n \to \infty} (n+1)/b=\infty$$
[/mm]
Wo sind denn nun Deine Potenzen in der Summe?
Vielleicht meinst Du ja
[mm] $$a_k=1/b^k=(1/b)^k$$
[/mm]
und dann
[mm] $$\sum_{k=\red{0}}^\infty a_k=\sum_{k=\red{0}}^\infty (1/b)^k=\frac{1}{1-1/b}=\frac{b}{b-1}$$
[/mm]
Ich bin mir übrigens ziemlich sicher, dass Dein Aufschrieb hier, der eigentlich
falsch ist, nicht wirklich Deine Gedanken wiederspiegelt, die mir eigentlich
richtig erscheinen - so rein nach Gefühl. Daher gleiche bitte immer ab:
Ist das, was ich da aufschreibe, auch das, was ich mitteilen will?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 So 25.11.2012 | | Autor: | zjay |
> Hallo,
>
> > Hallo.
> >
> > Ja klar, hier die "Reinschrift"
> >
> > An einer wichtigen Stelle hatte ich mir blöderweise
> > vertippt. Statt [mm]a^{k}[/mm] meinte ich [mm]a_{k}.[/mm] Hab wohl
> > gedankenverloren das falsche getippt.
> >
> > Ich wollte es verallgemeinern, indem ich [mm]a_{k}[/mm] := 1/b mit b
> > > 1 setze.
> >
> > b steht für Achilles Geschwindigkeit.
> >
> > In die Gleichung eingesetzt ergibt dies
> >
> > [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm] 1/b = [mm]\bruch{1}{1- \bruch{1}{b}}[/mm] mit
> > b > 0.
>
>
> na, zum einen gilt [mm]\sum_{k=\red{1}}^\infty q^k=q/(1-q)\,,[/mm]
> Du willst
> aber [mm]\sum_{k=\red{0}}^\infty q^k=1/(1-q)[/mm] für [mm]|q| < 1[/mm]
> benutzen.
> Achte also auf den unteren Index.
>
> Und zum anderen: Nach wie vor:
> [mm]\sum_{k=0}^\infty 1/b=\lim_{n \to \infty}\underbrace{(1/b+1/b+1/b+...+1/b)}_{n+1\text{ Summanden!}}=\lim_{n \to \infty} (n+1)/b=\infty[/mm]
>
> Wo sind denn nun Deine Potenzen in der Summe?
>
> Vielleicht meinst Du ja
> [mm]a_k=1/b^k=(1/b)^k[/mm]
> und dann
> [mm]\sum_{k=\red{0}}^\infty a_k=\sum_{k=\red{0}}^\infty (1/b)^k=\frac{1}{1-1/b}=\frac{b}{b-1}[/mm]
>
> Ich bin mir übrigens ziemlich sicher, dass Dein Aufschrieb
> hier, der eigentlich
> falsch ist, nicht wirklich Deine Gedanken wiederspiegelt,
> die mir eigentlich
> richtig erscheinen - so rein nach Gefühl. Daher gleiche
> bitte immer ab:
> Ist das, was ich da aufschreibe, auch das, was ich
> mitteilen will?
>
> Gruß,
> Marcel
Oh, danke. du hast Recht.
Es haben sich tatsächlich zwei Fehler reingeschlichen:
der Indexfehler und die fehlende Potenz.
Kannst du mir erklären, warum du hier, wo du die bestimmte Divergenz zeigen willst
[mm] \sum_{k=0}^\infty (1/b)=\lim_{n \to \infty}\underbrace{(1/b+1/b+1/b+...+1/b)}_{n+1\text{ Summanden!}}=\lim_{n \to \infty} (n+1)/b=\infty
[/mm]
[mm] \sum_{k=0}^\infty [/mm] (1/b) und nicht [mm] \sum_{k=0}^\infty (1/b)^{k} [/mm] nimmst?
Wäre denn dann alles richtig, wenn ich diese beiden fehler korrigiere? Das konnt ich deiner Aussage jetzt nämlich nicht entnehmen, ob nur diese beiden Sachen zu verbessern sind.
Ich schreib jetzt nochmal alles auf so wie ich es verstanden habe (und wenn du jetzt noch fehler findest, sind es denkfehler von mir):
[mm] a_{k} [/mm] := 1/b mit b > 1
eingesetzt in die Reihe ergibt dies:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (1/b)^{k} [/mm] = 1/(1- [mm] \bruch{1}{b}) [/mm] = [mm] \bruch{b}{b-1}
[/mm]
Ich schau jetzt besser nochmal kurz nach warum du überhaupt die bestimmte divergenz zeigen möchtest.
mfg,
zjay
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo zjay,
> > Hallo,
> >
> > > Hallo.
> > >
> > > Ja klar, hier die "Reinschrift"
> > >
> > > An einer wichtigen Stelle hatte ich mir blöderweise
> > > vertippt. Statt [mm]a^{k}[/mm] meinte ich [mm]a_{k}.[/mm] Hab wohl
> > > gedankenverloren das falsche getippt.
> > >
> > > Ich wollte es verallgemeinern, indem ich [mm]a_{k}[/mm] := 1/b mit b
> > > > 1 setze.
> > >
> > > b steht für Achilles Geschwindigkeit.
> > >
> > > In die Gleichung eingesetzt ergibt dies
> > >
> > > [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm] 1/b = [mm]\bruch{1}{1- \bruch{1}{b}}[/mm] mit
> > > b > 0.
> >
> >
> > na, zum einen gilt [mm]\sum_{k=\red{1}}^\infty q^k=q/(1-q)\,,[/mm]
> > Du willst
> > aber [mm]\sum_{k=\red{0}}^\infty q^k=1/(1-q)[/mm] für [mm]|q| < 1[/mm]
> > benutzen.
> > Achte also auf den unteren Index.
> >
> > Und zum anderen: Nach wie vor:
> > [mm]\sum_{k=0}^\infty 1/b=\lim_{n \to \infty}\underbrace{(1/b+1/b+1/b+...+1/b)}_{n+1\text{ Summanden!}}=\lim_{n \to \infty} (n+1)/b=\infty[/mm]
>
> >
> > Wo sind denn nun Deine Potenzen in der Summe?
> >
> > Vielleicht meinst Du ja
> > [mm]a_k=1/b^k=(1/b)^k[/mm]
> > und dann
> > [mm]\sum_{k=\red{0}}^\infty a_k=\sum_{k=\red{0}}^\infty (1/b)^k=\frac{1}{1-1/b}=\frac{b}{b-1}[/mm]
>
> >
> > Ich bin mir übrigens ziemlich sicher, dass Dein Aufschrieb
> > hier, der eigentlich
> > falsch ist, nicht wirklich Deine Gedanken
> wiederspiegelt,
> > die mir eigentlich
> > richtig erscheinen - so rein nach Gefühl. Daher
> gleiche
> > bitte immer ab:
> > Ist das, was ich da aufschreibe, auch das, was ich
> > mitteilen will?
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Oh, danke. du hast Recht.
>
> Es haben sich tatsächlich zwei Fehler reingeschlichen:
>
> der Indexfehler und die fehlende Potenz.
>
> Kannst du mir erklären, warum du hier, wo du die bestimmte
> Divergenz zeigen willst
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty (1/b)=\lim_{n \to \infty}\underbrace{(1/b+1/b+1/b+...+1/b)}_{n+1\text{ Summanden!}}=\lim_{n \to \infty} (n+1)/b=\infty[/mm]
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty[/mm] (1/b) und nicht [mm]\sum_{k=0}^\infty (1/b)^{k}[/mm]
> nimmst?
ich versteh' immer noch Deine Frage nicht:
Wenn Du $b > 1 [mm] \,$ [/mm] fest hast, dann ist doch [mm] $\sum_{k=1}^\infty 1/b=\infty$ [/mm]
klar - deswegen meintest Du bei Deinen Überlegungen sicher nicht
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty 1/b\,.$$
[/mm]
Und [mm] $\sum_{k=1}^\infty (1/b)^k$ [/mm] habe ich genommen, weil das zu dem
Rest Deiner Überlegungen passt. Schreib's Dir doch mal für $b=2$ etwa
hin. Also irgendwann musst Du doch auch mal selbst sehen:
"Oh, ich hatte [mm] $\sum_{k=\red{1}}^\infty 1/\red{b}$ [/mm] geschrieben, aber [mm] $\sum_{k=\blue{0}}^\infty (1/b)^{\blue{k}}$ [/mm] gemeint..."
oder sowas.
Ich meine: $1/(1-q)$ ist für $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] halt eben nicht [mm] $\sum_{k=\red{1}}^\infty q\,$ [/mm] und auch nicht [mm] $\sum_{k=\red{0}}^\infty q\,,$
[/mm]
sondern es ist eben
[mm] $$\frac{1}{1-q}=\sum_{k=0}^\infty q^\red{k}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo zjay,
> Wäre denn dann alles richtig, wenn ich diese beiden fehler
> korrigiere? Das konnt ich deiner Aussage jetzt nämlich
> nicht entnehmen, ob nur diese beiden Sachen zu verbessern
> sind.
ich finde das auch schwer komplett zu beurteilen, weil Du ja gar nicht
geschrieben hast, was Du nun überlegt hast, um zu der "geometrischen
Reihe" zu gelangen. Deswegen kann ich auch eher beurteilen, ob Dein
Ergebnis stimmt und anhand des Ergebnisses habe ich aber das Gefühl,
dass Du da schon mehr oder weniger weißt, was Du tust - Du schreibst
es halt nicht ganz sauber auf.
> Ich schreib jetzt nochmal alles auf so wie ich es
> verstanden habe (und wenn du jetzt noch fehler findest,
> sind es denkfehler von mir):
>
> [mm]a_{k}[/mm] := 1/b mit b > 1
Ich kapiere immer noch nicht den Sinn der [mm] $a_k\,.$ [/mm] Warum sind alle
[mm] $a_k=1/b\,$? [/mm] Das kann man machen, aber warum machst Du das
denn?
> eingesetzt in die Reihe ergibt dies:
Du berechnest dann halt [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k^k\,.$
[/mm]
Wenn Du willst, schreibe ich Dir nochmal was anderes:
Die geometrische Reihe
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty |q|^k$$
[/mm]
kann man schreiben als
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty |q|^k=\sum_{k=0}^\infty c_k$$
[/mm]
mit [mm] $c_k:=|q|^k$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN_0\,.$ [/mm] Sowas willst Du vielleicht
machen?
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (1/b)^{k}[/mm] = 1/(1- [mm]\bruch{1}{b})[/mm] = [mm]\bruch{b}{b-1}[/mm]
Das stimmt jetzt jedenfalls!
> Ich schau jetzt besser nochmal kurz nach warum du
> überhaupt die bestimmte divergenz zeigen möchtest.
Möchte ich doch gar nicht: Ich wollte Dir klar machen, dass Du sicher an
keiner Stelle
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty [/mm] 1/b$$
meintest, sondern dort eher
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty 1/b^\red{k}\,.$$
[/mm]
Ich war mir nämlich sicher, dass Du NICHT
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty [/mm] 1/b$$
verwenden willst, weil eben [mm] $\sum_{k=0}^\infty 1/b=\infty$ [/mm] wäre...
Irgendwie reden wir da aneinander vorbei...
P.S. Vielleicht machen wir's mal so: Achilles sollte ja nun mit $v > [mm] 1\,$ [/mm] km/h
unterwegs sein (damit er die Schildkröte auch einholen kann). Schreib' mal
bitte alles, was Du Dir nun überlegt hast bzgl. der Aufgabe zusammen -
so, als wenn ich (oder jemand anderes) die Aufgabe zur Korrektur
vorliegen hätte. Dann sehen wir auch, was Du denkst und welche Deiner
Notationsmängel - die wir dann evtl. noch finden - zu korrigieren sind.
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:20 So 25.11.2012 | | Autor: | zjay |
Also:
ich glaube ich verstehe jetzt den Fehler. Statt [mm] a_{k} [/mm] := 1/b mit b > 1 aufzuschreiben, sollte ich vllt eher a = 1/b schreiben?
Ich find meine Gedanken eigentlich recht simpel.
Die Formel lautet
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} a^{k} [/mm] = 1/(1-a)
Um dies für beliebige Geschwindigkeiten mit v > 1km/h zu verallgemeinern, setze ich 1/b als Argument für die Geschwindkeit in die Formel ein, da auch schon bei der Formel für Achilles benötigt Zeit (Teilaufgabe a) ) um die Schildkröte einzuholen [mm] t_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} (1/5)^{k} [/mm] für [mm] a_{k}=(1/5)^{k} [/mm] eingesetzt wurde. Achilles hatte eine Geschwindkeit von 5 km/h.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (1/b)^{k} [/mm] = 1/(1- [mm] \bruch{1}{b}) [/mm] = [mm] \bruch{b}{1-b}
[/mm]
Dies ist für mich jetzt verallgemeinert für den Fall, dass Achilles mit einer belibigen konstanten Geschwindigkeit > 1km/h läuft.
Gehört denn noch mehr zu dieser Teilaufgabe dazu?
Diese geometrische Reihe von der du sprichst ist direkt aus der Aufgabe entnommen und von daher habe ich da auch nichts dazugeschrieben.
mfg,
zjay
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 27.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 So 25.11.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Guten Abend,
ich denke man darf durchaus auch einmal in die Ecke der Literatur schauen und dieses inbegriffene Paradoxon von Achilles und der Schildkröte sich als Gedicht zu Gemüte führen.
Und so heißt es:
[mm] \textbf{Das Zeno'sche Paradoxon}
[/mm]
Folgendes Paradoxon
Beschäftigt mich seit Jahren schon:
Achilles könnte nie, im Laufen,
Die Siegespalme sich erkaufen,
Wenn man dem Gegner, einer Kröte
Mit Schild, nur einen Vorsprung böte.
Als Wissenschaftler irritiert
Hab ich es mehrfach ausprobiert,
Wobei unzählige der Kröten
Sekunden nach dem Start zertröten.
(aus Mathematische Seitensprünge: Ein unbeschwerter Ausflug in das Wunderland zwischen Mathematik und Literatur, Vieweg)
Ein wie ich finde auch ein interessantes Buch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 So 25.11.2012 | | Autor: | zjay |
Danke, das war interessant zu lesen ;)
mfg,
zjay
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