Achsenspiegelungen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Spencer |
| Aufgabe | Wenn in einer Ebene [mm] \varepsilon [/mm] zwei Geraden g und h weder parallel zueinander sind noch seknrecht aufeinander stehen, dann gilt für die Achsenspiegelungen Sg und Sh an diesen Geraden immer
Sg [mm] \circ [/mm] Sh [mm] \not= [/mm] Sh [mm] \circ [/mm] Sg |
1. Ansatz kann man hier mit dem Inversen argumentieren a [mm] \circ [/mm] a^-1 = e
also zu Sg [mm] \circ [/mm] Sh ist das inverse Sh [mm] \circ [/mm] Sg
(Sg [mm] \circ [/mm] Sh) [mm] \circ [/mm] (Sh [mm] \circ [/mm] Sg)
Sg [mm] \circ [/mm] (Sh [mm] \circ [/mm] Sh) [mm] \circ [/mm] Sg (Ass.)
weiter umformen sodass dann am ende e rauskommt
Das inverse ist eindeutig bestimmt daher muss (Sh [mm] \circ [/mm] Sg) auch das inverse zu Sh [mm] \circ [/mm] Sg sein was es ja aber nicht ist wenn man dann wieder verkettet !
2. Ansatz a [mm] \circ [/mm] a = id (identische Abb.)
(Sg [mm] \circ [/mm] Sh) [mm] \circ [/mm] (Sg [mm] \circ [/mm] Sh) = id
dann auf beiden Seiten Sh dazu sodass dann
(Sg [mm] \circ [/mm] Sh) [mm] \circ [/mm] (Sg [mm] \circ [/mm] Sh) [mm] \circ [/mm] Sh = id [mm] \circ [/mm] Sh
entsteht dann eben wieder weiter umformen sodass dann am Ende
Sg [mm] \circ [/mm] Sh = Sg [mm] \circ [/mm] Sh was ja ein wiederspruch zur aufgabenstellung wäre !
Kann man einen der beiden Ansätze weiterverfolgen oder bin ich da auf dem Holzweg !?
gruß
Spencer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Mi 09.12.2009 | | Autor: | abakus |
> Wenn in einer Ebene [mm]\varepsilon[/mm] zwei Geraden g und h weder
> parallel zueinander sind noch seknrecht aufeinander stehen,
> dann gilt für die Achsenspiegelungen Sg und Sh an diesen
> Geraden immer
>
> Sg [mm]\circ[/mm] Sh [mm]\not=[/mm] Sg [mm]\circ[/mm] Sh
> 1. Ansatz kann man hier mit dem Inversen argumentieren a
> [mm]\circ[/mm] a^-1 = e
>
> also zu Sg [mm]\circ[/mm] Sh ist das inverse Sh [mm]\circ[/mm] Sg
>
> (Sg [mm]\circ[/mm] Sh) [mm]\circ[/mm] (Sh [mm]\circ[/mm] Sg)
> Sg [mm]\circ[/mm] (Sh [mm]\circ[/mm] Sh) [mm]\circ[/mm] Sg (Ass.)
> weiter umformen sodass dann am ende e rauskommt
>
> Das inverse ist eindeutig bestimmt daher muss (Sh [mm]\circ[/mm] Sg)
> auch das inverse zu Sh [mm]\circ[/mm] Sg sein was es ja aber
> nicht ist wenn man dann wieder verkettet !
>
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>
> 2. Ansatz a [mm]\circ[/mm] a = id (identische Abb.)
>
>
> (Sg [mm]\circ[/mm] Sh) [mm]\circ[/mm] (Sg [mm]\circ[/mm] Sh) = id
>
> dann auf beiden Seiten Sh dazu sodass dann
>
>
> (Sg [mm]\circ[/mm] Sh) [mm]\circ[/mm] (Sg [mm]\circ[/mm] Sh) [mm]\circ[/mm] Sh = id [mm]\circ[/mm] Sh
>
> entsteht dann eben wieder weiter umformen sodass dann am
> Ende
>
> Sg [mm]\circ[/mm] Sh = Sg [mm]\circ[/mm] Sh was ja ein wiederspruch zur
> aufgabenstellung wäre !
>
>
> Kann man einen der beiden Ansätze weiterverfolgen oder bin
> ich da auf dem Holzweg !?
Hallo,
ich habe keine Ahnung, welche Beweismittel du verwenden darfst/musst.
Es lässt sich elementargeometrisch beweisen, dass die Nacheinanderausführung beider Spiegelungen einer Drehung um den Schnittpunkt von g und h mit dem Drehwinkel entspricht, der doppel so groß ist wie ihr Schnittwinkel. Je nach Reihenfolge beider Spiegelungen ist es eine Drehung im positiven oder negativen Drehsinn (die bei 90° auf identische Ergebnisse führen).
Gruß Abakus
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> gruß
> Spencer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:56 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Spencer |
Was du schreibst ist schon richtig jedoch nicht ganz das was ich brauche ... !
Also wir hatten Gruppenaxiome behandelt. ! Die Verkettung von Achsenspiegelungen bilden eine nicht kommutative Gruppe. Und genau das sollen wir beweisen. Wie im Aufgabentext beschrieben !
Jetzt ist meine Frage kann man das mittels Inversem, Neutralem El. beweisen oder ist der generelle Ansatz dazu falsch ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Do 10.12.2009 | | Autor: | Spencer |
hat noch jemand eine Idee ?
gruß
Spencer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 11.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:44 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Spencer |
Beweis:
Aus "g und h nicht parallel zueinander sind und nicht senkrecht aufeinander stehen" folgt:
g und h schneiden sich an einem Punkt, sagen wir Punkt X.
Jetzt waehlen wir einen beliebigen Punkt G auf der Geraden g, der aber nicht Punkt X ist! (Wichtig G [mm] \not= [/mm] X!)
Wir wollen ja die Nichtkommutativitaet zeigen:
(1) Sh(Sg(G)) [mm] \not= [/mm] Sg(Sh(G))
Weil G auf der Geraden g liegt gilt Sg(G)= G. Also vereinfacht sich die Ungleichung (1) zu
(2) Sh(G) [mm] \not= [/mm] Sg Sh(G)
Wir definieren den Punkt P = Sh (G).
Wichtig: Aus "g und h nicht parallel zueinander sind und nicht senkrecht aufeinander stehen" folgt:
P liegt nicht auf der Gerade g.
Wir setzen P in Ungleichung (2) ein:
(3) P [mm] \not= [/mm] Sg(P)
Weil P nicht auf der Gerade g liegt, laesst die Spiegelung Sg den Punkt P nicht fest. Es muss also P [mm] \not= [/mm] Sg(P) gelten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 13.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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