Achsensymmetrie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:23 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Karl87 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo Leute,
beschäftige mich schon seit ein paar Tagen mit dieser Aufgabe! Irgendwie komm ich nicht weiter!
Habe mir mal in GeoGebra eine Skizze angefertigt, um mir das mal vorzustellen!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Stell ich mir die Geschichte richtig vor!?
So nun soll ich ja zeigen, dass die Mengen M und M' gleich sind! Nur wie stelle ich dies an? Also, dass [mm] A=S_g(A) [/mm] und [mm] B=S_g(B) [/mm] ist ja klar! Da dies Fixpunkte sind! Muss man dies dann noch beweisen? Wir haben dies in der Vorlesung definiert:
Definition:
..heißt Geradenspiegelung (bzgl. g), wenn
a) für alle [mm] P\ing [/mm] stets [mm] S_g(P)=P [/mm] gilt. D.h. alle [mm] P\ing [/mm] sind Fixpunkte der Abbildung.
b)für alle [mm] P\innotg [/mm] stets [mm] gsenkrecht\overline{PP'} [/mm] und [mm] \overline{PS}=\overline{P'S} [/mm] für [mm] {S}=\overline{PP'}\capg [/mm] gilt.
So, also müsste ich ja jetzt nur noch zeigen, das in meinem Bsp. C=C' gilt, oder!?
Oder gehe ich anders an solch eine Aufgabe ran!?
Liebe Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo Leute,
> beschäftige mich schon seit ein paar Tagen mit dieser
> Aufgabe! Irgendwie komm ich nicht weiter!
> Habe mir mal in GeoGebra eine Skizze angefertigt, um mir
> das mal vorzustellen!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Stell ich mir die Geschichte richtig vor!?
Hallo,
vielleicht, vielleicht auch nicht...
Du hast hier eine Menge M, bestehend aus den drei Punkten A,B,C, und ihre Spiegelmenge M', bestehend aus A,B, C', gezeichnet.
Wenn Du auf die Def. für achsensymmetrisch guckst, dann siehst Du, daß M nicht achsensysmmetrisch ist, denn der gespiegelte Punkt von C liegt nicht in M.
Es ist in Deinem Beispiel [mm] M\not=M'.
[/mm]
Nimm nun die Menge [mm] N:=\{A,B,C,C'\}, [/mm] überzeuge Dich davon, daß sie achsensymmetrisch zu g ist.
Bestimme die Menge N' und stelle fest N=N'.
> So nun soll ich ja zeigen, dass die Mengen M und M' gleich
> sind!
Nein. Das wird ja auch offensichtlich nicht klappen in Deinem Beispiel...
Zeigen sollst Du folgendes:
Sofern die Mengen M und M' übereinstimmen, ist M achsensymmetrisch, also: M=M' ==> M ist achsensymmetrisch.
Nun, das haut einen nicht vom Hocker, denn mit den bloßen Hausfrauenverstand gedacht, ist das doch sonnenklar: da steht, daß man zeigen soll, daß eine Figur spiegelsymmetrisch ist, wenn sie mit ihrem Spiegelbild übereinstimmt. Na sowas.
> Nur wie stelle ich dies an?
Genau. Hierum geht es nämlich eher als um den Sachverhalt an sich.
Beweisen möchtest Du: M=M' ==> M ist achsensymmetrisch.
Vorausgesetzt ist also, daß jedes Element, welches in M liegt, auch in M' liegt, und umgekehrt.
Zeigen mußt Du, daß hieraus die Achsensymmetrie von M folgt, daß also für jeden Punkt aus M gilt, daß sein Spiegelpunkt auch in M liegt.
Bedenke hierfür, daß M' die Menge der Spiegelpunkte enthält...
[Alternativ kannst Du auch die Kontraposition von M=M' ==> M ist achsensymmetrisch zeigen, nämlich
M ist nicht achsensymmetrisch ==> [mm] M\not=M'.]
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Karl87 |
>
> Genau. Hierum geht es nämlich eher als um den Sachverhalt
> an sich.
>
> Beweisen möchtest Du: M=M' ==> M ist achsensymmetrisch.
>
> Vorausgesetzt ist also, daß jedes Element, welches in M
> liegt, auch in M' liegt, und umgekehrt.
>
> Zeigen mußt Du, daß hieraus die Achsensymmetrie von M
> folgt, daß also für jeden Punkt aus M gilt, daß sein
> Spiegelpunkt auch in M liegt.
>
> Bedenke hierfür, daß M' die Menge der Spiegelpunkte
> enthält...
>
>
> [Alternativ kannst Du auch die Kontraposition von M=M' ==>
> M ist achsensymmetrisch zeigen, nämlich
>
> M ist nicht achsensymmetrisch ==> [mm]M\not=M'.][/mm]
>
Okay, habe jetzt mal ein bißchen rumprobiert und stoße immer wieder auf das gleiche Problem. Angenommen M ist nicht Achsensymmetrisch, dann existiert ein Punkt [mm] P\inM [/mm] der nicht in M' liegt. Und dann bin ich ja schon bei der Aussage das [mm] M\not=M' [/mm] ist! Ich weiß irgendwie nicht weiter!
Wenn ich die andere Richtung versuche, passiert das selbe:
Angenommen es gilt M=M'. Sei [mm] g\subsetEbene [/mm] eine gerade und [mm] S_g [/mm] die zugehörige Geradenspiegelung. Dann gilt nach Def für alle Punkte [mm] P\ing [/mm] stets [mm] P=S_g(P). [/mm] Dass heißt alle [mm] P\ing [/mm] sind Fixpunkte der Abbildung [mm] S_g. [/mm] Also alle Fixpunkte liegen in M und in M'. Und für alle anderen Punkte gilt dies ja auch nach Vorraussetzung M=M'.
Komme so irgendwie nicht weiter. Hab das Gefühl das ich mir das viel zu leicht machen will!
Ich denke mir fehlt auch irgendwie ne genau Definition zu achsensymmetrisch! Mit der Definition, die bei der Aufgabe dabei steht hilft mir im Beweis irgendwie nicht!
Könnt ihr mir helfen!?
LG
Karl
> Gruß v. Angela
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Hallo,
fangen wir mal hinten an.
Du schreibst:
> Ich denke mir fehlt auch irgendwie ne genau Definition zu
> achsensymmetrisch! Mit der Definition, die bei der Aufgabe
> dabei steht hilft mir im Beweis irgendwie nicht!
Mit der Definition in Deiner Aufgabe wirst Du leben müssen. Sie ist so, wie sie ist, und mit dieser mußt Du arbeiten.
Sie ist doch auch weder geheimnisvoll noch unverständlich: da steht, daß eine Menge (denk Dir 'ne Figur) achsensymmetrisch ist, wenn jeder ihrer gespiegelten Punkte wiederein Punkt der Figur ist.
> > Genau. Hierum geht es nämlich eher als um den Sachverhalt
> > an sich.
> >
> > Beweisen möchtest Du: M=M' ==> M ist achsensymmetrisch.
> >
> > Vorausgesetzt ist also, daß jedes Element, welches in M
> > liegt, auch in M' liegt, und umgekehrt.
> >
> > Zeigen mußt Du, daß hieraus die Achsensymmetrie von M
> > folgt, daß also für jeden Punkt aus M gilt, daß sein
> > Spiegelpunkt auch in M liegt.
> >
> > Bedenke hierfür, daß M' die Menge der Spiegelpunkte
> > enthält...
> >
> >
> > [Alternativ kannst Du auch die Kontraposition von M=M' ==>
> > M ist achsensymmetrisch zeigen, nämlich
> >
> > M ist nicht achsensymmetrisch ==> [mm]M\not=M'.][/mm]
> >
> Okay, habe jetzt mal ein bißchen rumprobiert und stoße
> immer wieder auf das gleiche Problem. Angenommen M ist
> nicht Achsensymmetrisch, dann existiert ein Punkt [mm]P\inM[/mm] der
> nicht in M' liegt.
Das ist zu schnell!
Nach Def. der Achsensymmetrie existiert in dem Fall ein Punkt [mm] P\in [/mm] M, für welchen [mm] S_g(P)\not\in [/mm] M.
Und jetzt argumentiere weiter.
Es hat ja kein mensch gesagt, daß e sschwer oder langwierig ist, aber Du darfst nichts überspringen.
> Wenn ich die andere Richtung versuche,
Mach das anschließend. Du brauchst hier die Fixgerade und so 'nen Pipapo nicht. Nur die Def. von achsensymmetrisch und die def. von M'.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Karl87 |
Ahhhh, okay!
1.)M ist nicht achsensymmetrisch ==> [mm] M\not=M'
[/mm]
Angenommen, M ist nicht achsensymmetrisch. Dann existiert nach der Definition der Achsensymmetrie ein Punnkt [mm] P\inM [/mm] mit [mm] S_g(P)\not\in [/mm] M. Dann folgt aus der Definition der Menge M', es existiert ein Punkt [mm] P'\in [/mm] Ebene mit [mm] P'=S_g(P). [/mm] Da aber [mm] S_g(P)\not\in [/mm] M gilt [mm] P\not=P' [/mm] und somit auch [mm] M\not=M'. [/mm]
2.)M=M' ==> M ist achsensymmetrisch
Angenommen, es gilt M=M'. Dann existiert ein Punkt [mm] P'\in [/mm] M' mit [mm] P'=S_g(P). [/mm] Aus der Definition der Achsensymmetrie und [mm] S_g(P)\in [/mm] M folgt [mm] P\in [/mm] M und somit ist M achsensymmetrisch!
Richtig!?
Wie mache ich das dann jetzt speziell bei der b? Wie gehe ich da vor??
LG
Karl
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> Ahhhh, okay!
>
> 1.)M ist nicht achsensymmetrisch ==> [mm]M\not=M'[/mm]
>
> Angenommen, M ist nicht achsensymmetrisch. Dann existiert
> nach der Definition der Achsensymmetrie ein Punnkt [mm]P\inM[/mm]
> mit [mm]S_g(P)\not\in[/mm] M. Dann folgt aus der Definition der
> Menge M', es existiert ein Punkt [mm]P'\in[/mm] Ebene mit [mm]P'=S_g(P).[/mm]
> Da aber [mm]S_g(P)\not\in[/mm] M
Hallo,
bis hierher ist's richtig.
> gilt [mm]P\not=P'[/mm] und somit auch
> [mm]M\not=M'.[/mm]
Es ist zwar, wenn [mm] S_g(P) [/mm] für [mm] P\in [/mm] M nicht in M ist, natürlich [mm] S_g(P)\not=P.
[/mm]
Aber daraus kann man noch nicht schließen, daß die Mengen verschieden sind.
--
Einschub. Schau mal diese Abbildung an
[mm] 1\mapsto [/mm] 2
[mm] 2\mapsto [/mm] 3
[mm] 3\mapsto [/mm] 1.
Definitions- und Bildmenge dieser Abbildung sind gleich, [mm] obgleichf(x)\not=x [/mm] für alle x.
--
Wir waren also hier stehengeblieben: es gibt ein [mm] P\in [/mm] M mit [mm] S_g(P)\not\in [/mm] M.
Aber natürlich ist [mm] S_g(P) \in [/mm] M'. (Warum?).
Und nun? Warum sind die beiden Mengen nicht gleich?
>
> 2.)M=M' ==> M ist achsensymmetrisch
>
> Angenommen, es gilt M=M'. Dann existiert ein Punkt [mm]P'\in[/mm] M'
> mit [mm]P'=S_g(P).[/mm]
Es stimmt zwar, daß es solch einen Punkt in M' gibt, aber das ist immer so und nicht nur, wenn die beiden Mengen gleich sind.
> Aus der Definition der Achsensymmetrie und
> [mm]S_g(P)\in[/mm] M folgt
Nein, so kannst Du das nicht machen. Du willst doch erst die Achsensymmetrie bekommen. Da kannst Du sie nicht im Beweis verwenden!
> [mm]P\in[/mm] M und somit ist M
> achsensymmetrisch!
>
> Richtig!?
Es wir demnächst richtig werden...
Zu zeigen:
> 2.)M=M' ==> M ist achsensymmetrisch
Vorausgesetzt ist also, daß die Mengen M und M' übereinstimmen. Nachzuweisen ist die Achsensymmetrie, daß also für [mm] P\in [/mm] M auch [mm] S_g(P)\in [/mm] M gilt.
Sei [mm] P\in [/mm] M. Nach Def. von M' ist [mm] S_g(P) [/mm] in M'. Also??? ( Es ist wirklich leicht. Das muß einen nicht erschrecken.)
> Wie mache ich das dann jetzt speziell bei der b? Wie gehe
> ich da vor??
Ich denke mal, daß es hier nicht so schlecht ist, wenn Du Dich erstmal so nebenbei und ins Unreine darauf besinnst, wie Du in der Schule die Symmetrie von Funktionsgraphen gezeigt hast.
Mache dann folgendes.
Sei [mm] P\in G_f. [/mm] Dann gibt es ein [mm] x\in \IR [/mm] mit P=(x, ???).
Welches ist der Punkt, den Du durch Spiegelung an der y-Achse erhältst?
S((x,???))= (..., ...).
Finde nun einen Grund, warum dieser Punkt auch in [mm] G_f [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Karl87 |
> > Ahhhh, okay!
> >
> > 1.)M ist nicht achsensymmetrisch ==> [mm]M\not=M'[/mm]
> >
> > Angenommen, M ist nicht achsensymmetrisch. Dann existiert
> > nach der Definition der Achsensymmetrie ein Punnkt [mm]P\inM[/mm]
> > mit [mm]S_g(P)\not\in[/mm] M. Dann folgt aus der Definition der
> > Menge M', es existiert ein Punkt [mm]P'\in[/mm] Ebene mit [mm]P'=S_g(P).[/mm]
> > Da aber [mm]S_g(P)\not\in[/mm] M
>
> Hallo,
>
> bis hierher ist's richtig.
>
> > gilt [mm]P\not=P'[/mm] und somit auch
> > [mm]M\not=M'.[/mm]
>
> Es ist zwar, wenn [mm]S_g(P)[/mm] für [mm]P\in[/mm] M nicht in M ist,
> natürlich [mm]S_g(P)\not=P.[/mm]
> Aber daraus kann man noch nicht schließen, daß die Mengen
> verschieden sind.
>
> --
>
> Einschub. Schau mal diese Abbildung an
>
> [mm]1\mapsto[/mm] 2
> [mm]2\mapsto[/mm] 3
> [mm]3\mapsto[/mm] 1.
>
>
> Definitions- und Bildmenge dieser Abbildung sind gleich,
> [mm]obgleichf(x)\not=x[/mm] für alle x.
>
> --
>
> Wir waren also hier stehengeblieben: es gibt ein [mm]P\in[/mm] M mit
> [mm]S_g(P)\not\in[/mm] M.
>
> Aber natürlich ist [mm]S_g(P) \in[/mm] M'. (Warum?).
>
> Und nun? Warum sind die beiden Mengen nicht gleich?
>
Mh, bin jetzt total durcheinander!
Ich verstehe, was du mir sagen willst, nur irgendwie klickt es nicht :-$
Meinst du damit, dass zwar die Punkte P und [mm] S_g(P) [/mm] verschieden sind, aber nicht gesagt ist das [mm] S_g(P)\in [/mm] M' gilt? oder wie?
Ich sehe es irgendwie nicht, auch wenn ich weiß was du meinst!:(
>
> >
> > 2.)M=M' ==> M ist achsensymmetrisch
> >
> > Angenommen, es gilt M=M'. Dann existiert ein Punkt [mm]P'\in[/mm] M'
> > mit [mm]P'=S_g(P).[/mm]
>
> Es stimmt zwar, daß es solch einen Punkt in M' gibt, aber
> das ist immer so und nicht nur, wenn die beiden Mengen
> gleich sind.
>
> > Aus der Definition der Achsensymmetrie und
> > [mm]S_g(P)\in[/mm] M folgt
>
> Nein, so kannst Du das nicht machen. Du willst doch erst
> die Achsensymmetrie bekommen. Da kannst Du sie nicht im
> Beweis verwenden!
>
> > [mm]P\in[/mm] M und somit ist M
> > achsensymmetrisch!
> >
> > Richtig!?
>
> Es wir demnächst richtig werden...
>
> Zu zeigen:
>
> > 2.)M=M' ==> M ist achsensymmetrisch
>
> Vorausgesetzt ist also, daß die Mengen M und M'
> übereinstimmen. Nachzuweisen ist die Achsensymmetrie, daß
> also für [mm]P\in[/mm] M auch [mm]S_g(P)\in[/mm] M gilt.
>
> Sei [mm]P\in[/mm] M. Nach Def. von M' ist [mm]S_g(P)[/mm] in M'. Also??? (
> Es ist wirklich leicht. Das muß einen nicht erschrecken.)
>
Naja, das ist doch aber eigentlich nach Def. schon eindeutig, oder nicht!?
Ich übersehe da irgendwie was!? Hab das Gefühl mir liegts auf der Zunge, aber irgendwie ist da ne Blockade! :(
>
> > Wie mache ich das dann jetzt speziell bei der b? Wie gehe
> > ich da vor??
>
Ich will doch erstmal die a richtig verstehen:)
> Ich denke mal, daß es hier nicht so schlecht ist, wenn Du
> Dich erstmal so nebenbei und ins Unreine darauf besinnst,
> wie Du in der Schule die Symmetrie von Funktionsgraphen
> gezeigt hast.
>
> Mache dann folgendes.
>
> Sei [mm]P\in G_f.[/mm] Dann gibt es ein [mm]x\in \IR[/mm] mit P=(x, ???).
>
> Welches ist der Punkt, den Du durch Spiegelung an der
> y-Achse erhältst?
>
> S((x,???))= (..., ...).
>
> Finde nun einen Grund, warum dieser Punkt auch in [mm]G_f[/mm] ist.
>
> Gruß v. Angela
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> > > Ahhhh, okay!
> > >
> > > 1.)M ist nicht achsensymmetrisch ==> [mm]M\not=M'[/mm]
> > >
> > > Angenommen, M ist nicht achsensymmetrisch. Dann existiert
> > > nach der Definition der Achsensymmetrie ein Punnkt [mm]P\inM[/mm]
> > > mit [mm]S_g(P)\not\in[/mm] M. Dann folgt aus der Definition der
> > > Menge M', es existiert ein Punkt [mm]P'\in[/mm] Ebene mit [mm]P'=S_g(P).[/mm]
> > > Da aber [mm]S_g(P)\not\in[/mm] M
> >
> > Wir waren also hier stehengeblieben: es gibt ein [mm]P\in[/mm] M mit
> > [mm]S_g(P)\not\in[/mm] M.
> >
> > Aber natürlich ist [mm]S_g(P) \in[/mm] M'. (Warum?).
> >
> > Und nun? Warum sind die beiden Mengen nicht gleich?
> Meinst du damit, dass zwar die Punkte P und [mm]S_g(P)[/mm]
> verschieden sind, aber nicht gesagt ist das [mm]S_g(P)\in[/mm] M'
> gilt?
Natürlich liegt [mm] S_g(P) [/mm] in M'.
M' besteht doch gerade aus den Punkten, die man erhält, wenn man die Punkte aus M spiegelt, da muß das doch in M' drin sein.
So. Wir haben also [mm] S_g(P) [/mm] in M'.
Wir haben festgestellt, daß [mm] S_g(P) [/mm] nicht in M ist.
Und??? Können die Mengen gleich sein, wenn [mm] S_g(P) [/mm] in der einen drin ist und in der anderen nicht? Nee, oder?
Zum 2.Beweis:
> > Zu zeigen:
> >
> > > 2.)M=M' ==> M ist achsensymmetrisch
> >
> > Vorausgesetzt ist also, daß die Mengen M und M'
> > übereinstimmen. Nachzuweisen ist die Achsensymmetrie, daß
> > also für [mm]P\in[/mm] M auch [mm]S_g(P)\in[/mm] M gilt.
> >
> > Sei [mm]P\in[/mm] M. Nach Def. von M' ist [mm]S_g(P)[/mm] in M'. Also??? (
> > Es ist wirklich leicht. Das muß einen nicht erschrecken.)
[mm] (\*)
[/mm]
> >
> Naja, das ist doch aber eigentlich nach Def. schon
> eindeutig, oder nicht!?
Wenn Du sagst "eindeutig nach Definition" überzeugt mich das nicht - und ich fürchte, Deine Chefs umgarnst Du so auch nicht.
Ich frage mich bzw. Dich: von welcher Definition redest Du eigentlich?
> Ich übersehe da irgendwie was!? Hab das Gefühl mir liegts
> auf der Zunge, aber irgendwie ist da ne Blockade! :(
Wahrscheinlich ist's zu leicht...
Bei [mm] (\*) [/mm] kommt folgendes hin: [mm]S_g(P)[/mm] in M', M'=M, also ist [mm] S_g(P) [/mm] in M.
Gezeigt wurde: für jeses [mm] P\in [/mm] M ist [mm] S_g(P)\in [/mm] M. Also ist M (nach Def. der Achsensymmetrie) achsensymmetrisch.
> >
> > > Wie mache ich das dann jetzt speziell bei der b? Wie gehe
> > > ich da vor??
> >
> Ich will doch erstmal die a richtig verstehen:)
Das ist eine ausgezeichnete Idee.
Beide Alternativen für den Beweis bei a) sind sehr einfach, sie stehen jetzt ja auch da, und Du solltest unbedingt ihre Argumentationsfolge verstehen können.
Wenn Dir das gelungen ist, versuche, einen von beiden nochmal allein aufzuschreiben und Deinem Wellensittich (oder besser: einem unverständigen Kommilitonen) zu erklären.
Bei jedem Satz (jeder Folgerung), den Du schreibst, mußt Du Dich fragen: warum eigentlich? Und wenn Du darauf eine wirklich schlüssige Antwort hast, kannst Du den nächsten Satz hinschreiben.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Karl87 |
Also nochmal zur Kontrolle:
M ist nicht achsensymmetrisch ==> [mm] M\not= [/mm] M'
Angenommen, M ist nicht achsensymmetrisch. Dann existiert nach der Definition der Achsensymmetrie ein Punkt P mit [mm] S_g(P)\not\in [/mm] M. Aus der Definition der Menge M' folgt, es existiert ein Punkt [mm] P'\in [/mm] Ebene mit [mm] P'=S_g(P). [/mm] Da aber [mm] S_g(P)\not\in [/mm] M, jedoch [mm] S_g(P)\in [/mm] M`folgt [mm] M\not= [/mm] M'.
Richtig?:)
Das, was du hören wolltest, war mir schon klar, nur ich bin einfach davon ausgegangen, weil es eben mir zuuuu klar war! =)
> > Wie mache ich das dann jetzt speziell bei der b? Wie gehe
> > ich da vor??
>
> Ich denke mal, daß es hier nicht so schlecht ist, wenn Du
> Dich erstmal so nebenbei und ins Unreine darauf besinnst,
> wie Du in der Schule die Symmetrie von Funktionsgraphen
> gezeigt hast.
>
Also in der Schule hieß die Bedingung für Achsensymmetrie f(-x)=f(x). Wenn diese Bedingung erfüllt war, war die Fkt. Achsensymmetrisch zur y-Achse! Richtig?
> Mache dann folgendes.
>
> Sei [mm]P\in G_f.[/mm] Dann gibt es ein [mm]x\in \IR[/mm] mit P=(x, ???).
Dann müsste der Punkt P=(x,f(x)) heißen!
>
> Welches ist der Punkt, den Du durch Spiegelung an der
> y-Achse erhältst?
>
Und der entstandene Punkt lautet dann S(x,f(-x)).
>
> Finde nun einen Grund, warum dieser Punkt auch in [mm]G_f[/mm] ist.
>
Wie meinst du das?
> Gruß v. Angela
LG
Karl
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> Also nochmal zur Kontrolle:
> M ist nicht achsensymmetrisch ==> [mm]M\not=[/mm] M'
> Angenommen, M ist nicht achsensymmetrisch. Dann existiert
> nach der Definition der Achsensymmetrie ein Punkt P mit
> [mm]S_g(P)\not\in[/mm] M. Aus der Definition der Menge M' folgt,
es ist [mm] (P':=)S_g(P)\in [/mm] M'.
> Da aber
> [mm]S_g(P)\not\in[/mm] M, jedoch [mm]S_g(P)\in[/mm] M'folgt [mm]M\not=[/mm] M',
>
> Richtig?:)
Mit der kl. Modifikation: ja.
> > > Wie mache ich das dann jetzt speziell bei der b? Wie gehe
> > > ich da vor??
> >
> > Ich denke mal, daß es hier nicht so schlecht ist, wenn Du
> > Dich erstmal so nebenbei und ins Unreine darauf besinnst,
> > wie Du in der Schule die Symmetrie von Funktionsgraphen
> > gezeigt hast.
> >
> Also in der Schule hieß die Bedingung für Achsensymmetrie
> f(-x)=f(x).
Genau. In Hausfrauensprache übersetzt: die Funktionswerte an den Stellen x und -x stimmen überein.
> Wenn diese Bedingung erfüllt war, war die Fkt.
> Achsensymmetrisch zur y-Achse! Richtig?
Ja, genau.
>
>
> > Mache dann folgendes.
> >
> > Sei [mm]P\in G_f.[/mm] Dann gibt es ein [mm]x\in \IR[/mm] mit P=(x, ???).
>
> Dann müsste der Punkt P=(x,f(x)) heißen!
Richtig.
> >
> > Welches ist der Punkt, den Du durch Spiegelung an der
> > y-Achse erhältst?
> >
> Und der entstandene Punkt lautet dann S(x,f(-x)).
Nee, da guck nochmal genau nach: der gespiegelte Punkt hat doch nicht dieselbe 1. Koordinate!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Karl87 |
> > > > Wie mache ich das dann jetzt speziell bei der b? Wie gehe
> > > > ich da vor??
> > >
> > > Ich denke mal, daß es hier nicht so schlecht ist, wenn Du
> > > Dich erstmal so nebenbei und ins Unreine darauf besinnst,
> > > wie Du in der Schule die Symmetrie von Funktionsgraphen
> > > gezeigt hast.
> > >
> > Also in der Schule hieß die Bedingung für Achsensymmetrie
> > f(-x)=f(x).
>
> Genau. In Hausfrauensprache übersetzt: die Funktionswerte
> an den Stellen x und -x stimmen überein.
>
>
> > Wenn diese Bedingung erfüllt war, war die Fkt.
> > Achsensymmetrisch zur y-Achse! Richtig?
>
> Ja, genau.
>
> >
> >
> > > Mache dann folgendes.
> > >
> > > Sei [mm]P\in G_f.[/mm] Dann gibt es ein [mm]x\in \IR[/mm] mit P=(x, ???).
> >
> > Dann müsste der Punkt P=(x,f(x)) heißen!
>
> Richtig.
>
> > >
> > > Welches ist der Punkt, den Du durch Spiegelung an der
> > > y-Achse erhältst?
> > >
> > Und der entstandene Punkt lautet dann S(x,f(-x)).
>
> Nee, da guck nochmal genau nach: der gespiegelte Punkt hat
> doch nicht dieselbe 1. Koordinate!
>
Okay, sorry...Schreibfehler, also: S(-x,f(-x)).
Wie bringt mich das in dieser Aufgabe weiter!?
> Gruß v. Angela
LG
Karl.
Vielen Dank für deine Bemühungen.
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> > > > > Wie mache ich das dann jetzt speziell bei der b? Wie gehe
> > > > > ich da vor??
> > > >
> > > > Ich denke mal, daß es hier nicht so schlecht ist, wenn Du
> > > > Dich erstmal so nebenbei und ins Unreine darauf besinnst,
> > > > wie Du in der Schule die Symmetrie von Funktionsgraphen
> > > > gezeigt hast.
> > > >
> > > Also in der Schule hieß die Bedingung für Achsensymmetrie
> > > f(-x)=f(x).
> >
> > Genau. In Hausfrauensprache übersetzt: die Funktionswerte
> > an den Stellen x und -x stimmen überein.
> >
> >
> > > Wenn diese Bedingung erfüllt war, war die Fkt.
> > > Achsensymmetrisch zur y-Achse! Richtig?
> >
> > Ja, genau.
> >
> > >
> > >
> > > > Mache dann folgendes.
> > > >
> > > > Sei [mm]P\in G_f.[/mm] Dann gibt es ein [mm]x\in \IR[/mm] mit P=(x, ???).
> > >
> > > Dann müsste der Punkt P=(x,f(x)) heißen!
> >
> > Richtig.
> >
> > > >
> > > > Welches ist der Punkt, den Du durch Spiegelung an der
> > > > y-Achse erhältst?
> > > >
> > > Und der entstandene Punkt lautet dann S(x,f(-x)).
> >
> > Nee, da guck nochmal genau nach: der gespiegelte Punkt hat
> > doch nicht dieselbe 1. Koordinate!
> >
> Okay, sorry...Schreibfehler, also: S(-x,f(-x)).
Hallo,
Du hast hier jetzt schon Wissen darüber eingebaut, daß die Funktion symmetrisch ist, das darfst Du natürlich nicht.
Nimm an, Du hast eine Funktion, von der Du nur die rechte Seite siehst, und Du spiegelst den Punkt (x,f(x)) an der y-Achse.
Du erhältst dann doch den Punkt (-x, f(x)): bei gespoiegelten Punkt ändert sich die 1.Koordinate, die 2. bleibt.
Wenn Du nun feststellen kannst, daß f(x)=f(-x) ist, dann weißt Du, daß der Spieglepunkt auch auf dem Graphen liegt.
> Wie bringt mich das in dieser Aufgabe weiter!?
Wenn Du das zeigen könntest für alle beliebigen x, dann hättest Du foigendes erreicht:
[mm] (x,f(x))\in G_f [/mm] ==> (-x, [mm] f(x))=S_y(x,f(x))\in G_f [/mm] , was nach Def. der Achsensymmetrie bedeutet: [mm] G_f [/mm] ist symmetrisch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Karl87 |
> > > > > > Wie mache ich das dann jetzt speziell bei der b? Wie gehe
> > > > > > ich da vor??
> > > > >
> > > > > Ich denke mal, daß es hier nicht so schlecht ist, wenn Du
> > > > > Dich erstmal so nebenbei und ins Unreine darauf besinnst,
> > > > > wie Du in der Schule die Symmetrie von Funktionsgraphen
> > > > > gezeigt hast.
> > > > >
> > > > Also in der Schule hieß die Bedingung für Achsensymmetrie
> > > > f(-x)=f(x).
> > >
> > > Genau. In Hausfrauensprache übersetzt: die Funktionswerte
> > > an den Stellen x und -x stimmen überein.
> > >
> > >
> > > > Wenn diese Bedingung erfüllt war, war die Fkt.
> > > > Achsensymmetrisch zur y-Achse! Richtig?
> > >
> > > Ja, genau.
> > >
> > > >
> > > >
> > > > > Mache dann folgendes.
> > > > >
> > > > > Sei [mm]P\in G_f.[/mm] Dann gibt es ein [mm]x\in \IR[/mm] mit P=(x, ???).
> > > >
> > > > Dann müsste der Punkt P=(x,f(x)) heißen!
> > >
> > > Richtig.
> > >
> > > > >
> > > > > Welches ist der Punkt, den Du durch Spiegelung an der
> > > > > y-Achse erhältst?
> > > > >
> > > > Und der entstandene Punkt lautet dann S(x,f(-x)).
> > >
> > > Nee, da guck nochmal genau nach: der gespiegelte Punkt hat
> > > doch nicht dieselbe 1. Koordinate!
> > >
> > Okay, sorry...Schreibfehler, also: S(-x,f(-x)).
>
> Hallo,
>
> Du hast hier jetzt schon Wissen darüber eingebaut, daß die
> Funktion symmetrisch ist, das darfst Du natürlich nicht.
Stimmt, okay, ich bin auch davon ausgegangen, das ich es weiß:)
>
> Nimm an, Du hast eine Funktion, von der Du nur die rechte
> Seite siehst, und Du spiegelst den Punkt (x,f(x)) an der
> y-Achse.
> Du erhältst dann doch den Punkt (-x, f(x)): bei
> gespoiegelten Punkt ändert sich die 1.Koordinate, die 2.
> bleibt.
>
Ja, richtig, du hast Recht!
> Wenn Du nun feststellen kannst, daß f(x)=f(-x) ist, dann
> weißt Du, daß der Spieglepunkt auch auf dem Graphen liegt.
>
JA, verstehe ich.
> > Wie bringt mich das in dieser Aufgabe weiter!?
>
> Wenn Du das zeigen könntest für alle beliebigen x, dann
> hättest Du foigendes erreicht:
>
> [mm](x,f(x))\in G_f[/mm] ==> (-x, [mm]f(x))=S_y(x,f(x))\in G_f[/mm] , was
> nach Def. der Achsensymmetrie bedeutet: [mm]G_f[/mm] ist
> symmetrisch.
Ist auch verständlich, nur die Menge [mm] G_f [/mm] ist mir noch nicht plausibel!Also ich kann mir nicht vorstellen, aus was sie besteht! Und f(x) bringt mich auch durcheinander!
Wie gehe ich da jetzt ran?
> Gruß v. Angela
LG
Karl
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> > > > > >
> > > > > > Sei [mm]P\in G_f.[/mm]
> > > > >
> > > > > Dann müsste der Punkt P=(x,f(x)) heißen!
> > > >
> > > >
> > > > > >
> > > > > > Welches ist der Punkt, den Du durch Spiegelung an der
> > > > > > y-Achse erhältst?
> > > > > >
> > Du erhältst dann doch den Punkt (-x, f(x)): bei
> > Wenn Du nun feststellen kannst, daß f(x)=f(-x) ist, dann
> > weißt Du, daß der Spieglepunkt auch auf dem Graphen liegt.
> >
> JA, verstehe ich.
>
> > > Wie bringt mich das in dieser Aufgabe weiter!?
> >
> > Wenn Du das zeigen könntest für alle beliebigen x, dann
> > hättest Du foigendes erreicht:
> >
> > [mm](x,f(x))\in G_f[/mm] ==> (-x, [mm]f(x))=S_y(x,f(x))\in G_f[/mm] , was
> > nach Def. der Achsensymmetrie bedeutet: [mm]G_f[/mm] ist
> > symmetrisch.
>
> Ist auch verständlich, nur die Menge [mm]G_f[/mm] ist mir noch nicht
> plausibel!Also ich kann mir nicht vorstellen, aus was sie
> besteht! Und f(x) bringt mich auch durcheinander!
> Wie gehe ich da jetzt ran?
Hallo,
so, wie ich es gesagt habe: Du sagst, was der Spiegelpunkt zu (x,f(x)) ist und rechnest vor, daß es ein Punkt des Graphen ist.
Zur Menge [mm] G_f: [/mm] guck Dir nochmal genau an, wie die definiert wurde. Du wirst feststellen, daß sie aus allen Punkten besteht, die auf dem Graphen der Funktion liegen. [mm] G_f [/mm] ist der Graph der Funktion.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 So 10.05.2009 | | Autor: | Karl87 |
Okay, wenn ich allein die Funktion betrachte, die quadratisch ist, dann ist sie doch achsensymmetrisch bzgl der y-Achse! Gerade weil sie ja quadratisch ist, oder!? Da [mm] (-x)^2=x^2 [/mm] !
Nur wie zeige ich das?
In der Schule haben wir immer nur f(-x) bestimmt und mit f(x) gleichgesetzt! Wenn die Aussage wahr war, dann war die Fkt achsensymmetrisch!
Wenn ich das jetzt hier anwenden würde, sieht das so aus:
[mm] f(-x)=\summe_{v=1}^{8}a_{2v}*(-x)^{2v}=\summe_{v=1}^{8}a_{2v}*x^{2v}=f(x)
[/mm]
Aber das kann doch nicht reichen!?
Inwiefern spielt denn das Intervall eine Rolle!?
LG
Karl
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> Okay, wenn ich allein die Funktion betrachte, die
> quadratisch ist, dann ist sie doch achsensymmetrisch bzgl
> der y-Achse! Gerade weil sie ja quadratisch ist, oder!? Da
> [mm](-x)^2=x^2[/mm] !
Hallo,
gute Idee, mal eine Funktion zu nehmen, die Dir sehr vertraut ist.
betrachten wir als [mm] f(x):=x^2 [/mm] und zwar tun wir das auch für [-1,1].
[Das Intervall spielt insofern eine Rolle, als daß es symmetrisch zur 0 ist.
Hätten wir das Intervall [-5,1] dann könnten wir unsere Symmetrie gleich knicken, denn [mm] (-5,25)\in G_f, [/mm] jedoch (5,25) ganz sicher nicht, weil unser f dort ja überhaupt nicht definiert ist. Also hat#s da keinen Punkt auf dem Graphen.]
>
> Nur wie zeige ich das?
> In der Schule haben wir immer nur f(-x) bestimmt und mit
> f(x) gleichgesetzt! Wenn die Aussage wahr war, dann war die
> Fkt achsensymmetrisch!
Das ist ja auch völlig richtig.
Du mußt hier jedoch mit dem arbeiten, was Dir an Definitionen zur Verfügung gestellt wurde.
Das Schöne: Du wirst am Ende sehen, daß die neue def. der Uni und das, was Du in der Schule gelernt hast, wunderbar zusammenpaßt. Es fügt sich eins zum anderen.
Ich mache es mal für die Funktion von oben vor:
[mm] G_f=\{(x,y)| y=f(x)=x^2, x\in [-1,1]\}=\{(x,x^2)| x\in [-1,1]\}.
[/mm]
Sei [mm] P\in G_f. [/mm] Dann gibt es ein [mm] a\in [/mm] [-1,1] mit [mm] P=(a,a^2).
[/mm]
Es ist [mm] S_y((a,a^2))=(-a, a^2).
[/mm]
Zu untersuchen ist, ob dies ein Element von [mm] G_f [/mm] ist.
1. Da [mm] a\in [/mm] [-1,1], ist auch [mm] -a\in [/mm] [-1,1].
2. Es ist [mm] a^2=(-a)^2=f(-a).
[/mm]
Also ist [mm] S_y((a,a^2))=(-a, (-a)^2)=(-a, f(-a))\in \{(x,x^2)| x\in [-1,1]\}=G_f
[/mm]
Für jedes [mm] P\in G_f [/mm] ist also auch [mm] S_g(P) \in G_f, [/mm] also ist [mm] G_f [/mm] symmetrisch.
>
> Wenn ich das jetzt hier anwenden würde, sieht das so aus:
>
> [mm]f(-x)=\summe_{v=1}^{8}a_{2v}*(-x)^{2v}=\summe_{v=1}^{8}a_{2v}*x^{2v}=f(x)[/mm]
>
> Aber das kann doch nicht reichen!?
> Inwiefern spielt denn das Intervall eine Rolle!?
Schau jetzt, was ich oben gemacht habe, imitiere mich und verwende dabei, was Du gerechnet hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 So 10.05.2009 | | Autor: | Karl87 |
Sooooo, also...ich hoffe es ist jetzt korrekt:)
[mm]G_f=\{(x,y)| y=f(x)=\summe_{v=0}^{8}a_{2v}x^{2v}, x\in [-1,1]\}=\{(x,\summe_{v=0}^{8}a_{2v}x^{2v},)| x\in [-1,1]\}.[/mm]
Sei [mm]P\in G_f.[/mm] Dann gibt es ein [mm]t\in[/mm] [-1,1] mit [mm]P=(t,\summe_{v=0}^{8}a_{2v}t^{2v}).[/mm]
Es ist [mm]S_y((t,\summe_{v=0}^{8}a_{2v}t^{2v}))=(-t,\summe_{v=0}^{8}a_{2v}t^{2v}).[/mm]
Zu untersuchen ist, ob dies ein Element von [mm]G_f[/mm] ist.
1. Da [mm]t\in[/mm] [-1,1], ist auch [mm]-t\in[/mm] [-1,1].
2. Es ist [mm]f(t)=\summe_{v=0}^{8}a_{2v}t^{2v}=\summe_{v=0}^{8}a_{2v}(-t)^{2v}=f(-t).[/mm]
Also ist [mm]S_y((t,\summe_{v=0}^{8}a_{2v}t^{2v}))=(-t, \summe_{v=0}^{8}a_{2v}(-t)^{2v})=(-t, f(-t))\in \{(x,\summe_{v=0}^{8}a_{2v}x^{2v})| x\in [-1,1]\}=G_f[/mm]
Für jedes [mm]P\in G_f[/mm] ist also auch [mm]S_g(P) \in G_f,[/mm] also ist [mm]G_f[/mm] symmetrisch.
Richtig!?
Achja, eine Frage habe ich aber noch. Warum geben sie in der Aufgabe dieses n=16 an für v=(0,...,n) ? Spielt das ne Rolle?
LG
Karl
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> Richtig!?
Hallo,
ja, so ist das jetzt richtig.
Ich hoffe, Du hast Deine eigene Argumentation verstanden, die , welcher hier mit den Definitionen und nicht Vorstellungen argumentiert wird.
Das ist manchmal gerade bei Aufgaben, deren Aussagen sonnenklar und seit Jahren wohlbekannt sind, schwierig
> Achja, eine Frage habe ich aber noch. Warum geben sie in
> der Aufgabe dieses n=16 an für v=(0,...,n) ? Spielt das ne
> Rolle?
Klar!!! Alles spielt 'ne Rolle! Das ist alles im Dienste der Klarheit so hingeschrieben...
"Übersetzt" steht dort, daß die Koeffizienten [mm] a_0, a_1, a_2,..., a_{15}, [/mm] a_16 den reellen Zahlen entstammen.
Gruß v. Angela
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Nochmal kurz eine Frage, zu dem Beweis von der a). Ich verstehe nicht ganz warum wir M [mm] \not= [/mm] M' beweisen und nicht M = M' müsste man da nicht noch nen Erklärungssatz einfügen?
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> Nochmal kurz eine Frage, zu dem Beweis von der a). Ich
> verstehe nicht ganz warum wir M [mm]\not=[/mm] M' beweisen und nicht
> M = M' müsste man da nicht noch nen Erklärungssatz
> einfügen?
Hallo,
wir beweisen nicht " M [mm]\not=[/mm] M' ", sondern wir beweisen: M ist nicht achsensymmetrisch ==> $ [mm] M\not=M' [/mm] $.
Den erklärenden Satz findest Du in meiner ersten Antwort: es ist die Kontraposition von "M=M' ==> M ist achsensymmetrisch".
Die Aussage und ihre Kontraposition sind äquivalent, welche von von beiden man beweist, ist Geschmackssache. Im Thread wurden ja beide besprochen.
Gruß v. Angela
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