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| Aufgabe | f(x) = [mm] \bruch{-16e^x}{(e^x+1)^2}
[/mm]
Weisen Sie nach, dass der Graph von f achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft. |
Hallo,
also ich soll nachweisen, dass f achsensymmetrisch zur y-Achse ist, d.h f(x) = f(-x).
Demnach lautet die Funktion: f(x) = [mm] \bruch{-16e^{-x}}{(e^{-x}+1)^2}
[/mm]
Aber wie muss ich nun vorgehen um die Funktion in f(x) umzustellen?
Ich weiß das es da einen Trick gab, aber wie der funktioniert hat weiß ich leider nicht mehr.
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Hallo dropthelie,
> f(x) = [mm]\bruch{-16e^x}{(e^x+1)^2}[/mm]
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> Weisen Sie nach, dass der Graph von f achsensymmetrisch zur
> y-Achse verläuft.
> Hallo,
>
> also ich soll nachweisen, dass f achsensymmetrisch zur
> y-Achse ist, d.h f(x) = f(-x).
>
> Demnach lautet die Funktion: f(x) =
> [mm]\bruch{-16e^{-x}}{(e^{-x}+1)^2}[/mm]
>
> Aber wie muss ich nun vorgehen um die Funktion in f(x)
> umzustellen?
> Ich weiß das es da einen Trick gab, aber wie der
> funktioniert hat weiß ich leider nicht mehr.
Der Trick ist, den Ausdruck
[mm]\bruch{-16e^{-x}}{(e^{-x}+1)^2}[/mm]
geschickt zu erweitern.
Gruß
MathePower
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Hm, ok. Danke schonmal für die Anregung, allerdings will sich mir bisher nicht erschließen mit was ich den Ausdruck geschickt erweitere.
Nen kleiner Stoß wäre noch sehr hilfreich.
Edit:
So damit ich net noch ein neues Thema aufmachen muss, mal die Frage hierher.
Die obige Funktion soll abgeleitet werden, dazu nutze ich die Quotientenregel!?
Also
[mm]
f'(x) = \bruch{-16e^x(e^x+1)^2+16e^x(e^x)*2}{(e^x+1)^4}
[/mm]
Müsste passen, oder? Und wie gehe ich dann weiter vor oder habe ich was falsch gemacht?
Ich würde dann die bin. Formel auflösen, und den Bruch kürzen etc, komme aber auf ein falsches Ergebnis.
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> Hm, ok. Danke schonmal für die Anregung, allerdings will
> sich mir bisher nicht erschließen mit was ich den Ausdruck
> geschickt erweitere.
>
> Nen kleiner Stoß wäre noch sehr hilfreich.
Hallo,
überleg Dir, womit Du den Zähler von f(-x) multiplizieren müßtest, um auf den Zähler von f(x) zu kommen.
Dann guck nach, ob's unten auch funktioniert.
>
> Edit:
> So damit ich net noch ein neues Thema aufmachen muss, mal
> die Frage hierher.
>
> Die obige Funktion soll abgeleitet werden, dazu nutze ich
> die Quotientenregel!?
> Also
> [mm]
f'(x) = \bruch{-16e^x(e^x+1)^2+16e^x(e^x)*2}{(e^x+1)^4}
[/mm]
>
> Müsste passen, oder?
Nein, das paßt noch nicht. Guck Dir die Quotientenregel genau an (Vorzeichen), leite langsam ab, und vergiß bei der Ableitung des Nenners nicht die Kettenregel.
Gruß v. Angela
Und wie gehe ich dann weiter vor oder
> habe ich was falsch gemacht?
> Ich würde dann die bin. Formel auflösen, und den Bruch
> kürzen etc, komme aber auf ein falsches Ergebnis.
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Also den Bruch mit [mm]e^{2x}[/mm] erweitern?
f(-x) = [mm] \bruch{-16e^{-x}*e^{2x}}{(e^{-x}+1)^2*e^{2x}} [/mm] = [mm] \bruch{-16e^x}{(e^{-2x}+2e^{-x}+1)*e^{2x}} [/mm]
Wenn alles stimmt, dann würds im Nenner nicht passen, also ist Funktion nicht achsensymmetrisch? Glaub ja net, dass das stimmt, wo hab ich den Fehler drinnen?
So und zur Ableitung:
Das mit den Vorzeichen passt doch?
f'(x) = [mm] \bruch{-16e^x(e^x+1)^2-(-16e^x(e^x)*8)}{(e^x+1)^3*e^x}
[/mm]
Irgendwie wirds glaub ich immer nur noch falscher!?
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> Also den Bruch mit [mm]e^{2x}[/mm] erweitern?
>
> f(-x) = [mm]\bruch{-16e^{-x}*e^{2x}}{(e^{-x}+1)^2*e^{2x}}[/mm] =
> [mm]\bruch{-16e^x}{(e^{-2x}+2e^{-x}+1)*e^{2x}}[/mm]
>
> Wenn alles stimmt, dann würds im Nenner nicht passen,
Hallo,
wirklich nicht?
Hast Du's mal in die Klammer reinmultipliziert?
Oder, wenn Du's Dir einfach machst: [mm] (e^{-x}+1)^2*e^{2x}= (e^{-x}+1)*e^{x}*(e^{-x}+1)*e^{x}.
[/mm]
Das paßt.
also
> ist Funktion nicht achsensymmetrisch? Glaub ja net, dass
> das stimmt, wo hab ich den Fehler drinnen?
>
>
> So und zur Ableitung:
>
> Das mit den Vorzeichen passt doch?
Entschuldige, ich hatte das Minus in der Funktion übersehen. Ja, es paßt.
>
> f'(x) =
> [mm]\bruch{-16e^x(e^x+1)^2-(-16e^x(e^x)*8)}{(e^x+1)^3*e^x}[/mm]
>
> Irgendwie wirds glaub ich immer nur noch falscher!?
Du hast
[mm] f=\bruch{u}{v} [/mm] mit
[mm] u(x)=-16e^x,
[/mm]
[mm] v(x)=(e^x+1)^2.
[/mm]
Für die Quotientenregel brauchst Du folgende Bestandteile, welche Du am besten mal einzeln aufschreibst, damit man den Fehler aufspüren kann.
v'=...
[mm] v^2= [/mm] ...
u'=...
Gruß v. Angela
>
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Okay, Achsensymmtrie passt jetzt. :D
Ohman, wenn man wie immer den Wald vor lauter Bäumen nicht sieht.
Danke.
Aber die Ableitung macht mir noch einige Probleme.
Hab mal die einzelnen Teile aufgeschrieben.
[mm]v' = 2(e^x+1)*e^x [/mm]
[mm]v^2 = (e^x+1)^4[/mm]
[mm]u'= -16e^x[/mm]
Passt so, oder?
[mm]f'(x) = \bruch {u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)} [/mm]
So und jetzt noch die Kettenregel mit [mm] v^2(x)!?
[/mm]
[mm] v^2'(x) [/mm] = [mm] (e^x+1)^3*4e^x
[/mm]
Also:
[mm]f'(x) = \bruch {-16e^x(e^x+1)^2 + 16e^x(e^x+1)*2e^x}{(e^x+1)^3*4e^x} [/mm]
Wenns dann so passen würde kürzen und den Bruch soweit es geht vereinfachen?
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> Okay, Achsensymmtrie passt jetzt. :D
> Ohman, wenn man wie immer den Wald vor lauter Bäumen nicht
> sieht.
>
> Danke.
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> Aber die Ableitung macht mir noch einige Probleme.
>
> Hab mal die einzelnen Teile aufgeschrieben.
>
> [mm]v' = 2(e^x+1)*e^x[/mm]
> [mm]v^2 = (e^x+1)^4[/mm]
>
> [mm]u'= -16e^x[/mm]
>
> Passt so, oder?
>
> [mm]f'(x) = \bruch {u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)}[/mm]
>
> So und jetzt noch die Kettenregel mit [mm]v^2(x)!?[/mm]
Hallo,
nein.
Schau Dir doch die Kettenregel an: die Ableitung von [mm] v^2 [/mm] wünscht sich dort niemand,die braucht man nicht.
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> [mm]v^2'(x)[/mm] = [mm](e^x+1)^3*4e^x[/mm]
>
> Also:
[mm]f'(x) = \bruch {-16e^x(e^x+1)^2 + 16e^x(e^x+1)*2e^x}{(e^x+1)^4}[/mm]
>
> Wenns dann so passen würde kürzen und den Bruch soweit es
> geht vereinfachen?
Ja,
am besten klammerst Du jetzt mal [mm] (e^x+1) [/mm] im Zähler aus.
Gruß v. Angela
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Hm, ok, habs jetzt. Danke dir :D
Aber wann nutze ich dann die Kettenregel?
Nur bei Fällen wie [mm] f(x) =2* (x+1)^3 [/mm]
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> Aber wann nutze ich dann die Kettenregel?
> Nur bei Fällen wie [mm]f(x) =2* (x+1)^3[/mm]
Hallo,
immer, wenn man es mit Funktionen zu tun hat, die verkettet sind, wo also eine Funktion in eine andere eingesetzt wurde.
So, wie in Deinem Beispiel oben, aber auch z.b. [mm] g(x)=e^{sin(x)}.
[/mm]
Du mußtest in Deienr Aufgabe die Kettenregel innerhalb der Produktregel beim Ableiten von v verwenden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Sa 23.05.2009 | | Autor: | dropthelie |
Okay, danke dir!
Ich denke ich habs verstanden :D
Schönes Wochenende noch.
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