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Ackermann Funktion / Induktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ackermann Funktion / Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:29 Fr 02.12.2005
Autor: Nephilim

also ich habe folgendes problem
gegeben ist die ackerman funktion:

(1)A(0,n) = n+1
(2)A(m,0) = A(m-1, 1) für m > 0
(3)A(m,n) = A(m-1, A(m, n-1) für m,n > 0

und folgende werte sind gegeben
A(0, n)
A(1, n) und A(2, n)

zuerst soll ich math. funktionen finden mit denen man die ackerman funktion berechnen kann

bei A(0, n) ist ja scho vorgegeben das es n+1 ist
bei A(1, n) wende ich einfach regel (2) n mal an mit es in der form
A(0, ......., A(0, A(1, 0))....)
und A(1, 0) ergibt 2
also kann man A(1, n) mit der funktion n + 2 brechnen

aber bei A(2, n) komm ich irgendwie nicht weiter
müsste nach dem selben schema ablaufen aber ich bekomm es nicht hin
ich weis nur das 2*n+3 rauskommen sollte
aber nicht wie man auf das 2*n kommt

dann wäre noch für A(1, n) und A(2, n) der beweis durch induktion gefragt

hoffe mir kann jemand helfen

diese frage wurde in keinem anderen forum gestellt

        
Bezug
Ackermann Funktion / Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:03 Sa 03.12.2005
Autor: felixf


> also ich habe folgendes problem
>  gegeben ist die ackerman funktion:
>  
> (1)A(0,n) = n+1
>  (2)A(m,0) = A(m-1, 1) für m > 0

>  (3)A(m,n) = A(m-1, A(m, n-1) für m,n > 0

>  
> und folgende werte sind gegeben
>  A(0, n)
>  A(1, n) und A(2, n)
>  
> zuerst soll ich math. funktionen finden mit denen man die
> ackerman funktion berechnen kann
>  
> bei A(0, n) ist ja scho vorgegeben das es n+1 ist
>  bei A(1, n) wende ich einfach regel (2) n mal an mit es in
> der form
>  A(0, ......., A(0, A(1, 0))....)
>  und A(1, 0) ergibt 2
>  also kann man A(1, n) mit der funktion n + 2 brechnen

Genau.

> aber bei A(2, n) komm ich irgendwie nicht weiter
>  müsste nach dem selben schema ablaufen aber ich bekomm es
> nicht hin
>  ich weis nur das 2*n+3 rauskommen sollte
> aber nicht wie man auf das 2*n kommt

Nun, mach es genau wie vorhin:

A(2, n) = A(1, A(2, n-1)) mit Regel (3).
Jetzt weisst du, dass A(1, A(2, n-1)) = A(2, n-1) + 2 ist (nach dem was du grad gemacht hast). Also ist
A(2, n) = A(2, n-1) + 2.
Wenn du das mehrmals wiederholst bekommst du
A(2, n) = A(2, n-2) + 2*2 = A(2, n-3) + 2*3 = A(2, n-4) + 2*4 = ... = A(2, 0) + 2*n.
Nun ist A(2, 0) = A(1, 1) = 1 + 2 = 3, womit also A(2, n) = A(2, 0) + 2*n = 3 + 2*n ist!

> dann wäre noch für A(1, n) und A(2, n) der beweis durch
> induktion gefragt
>  
> hoffe mir kann jemand helfen

Nunja, im Prinzip hast du es oben schon aufgeschrieben! Du zeigst erst A(1, n) = n+2 per Induktion: Angenommen, die Behauptung gilt fuer n, also A(1, n) = n+2. Dann ist A(1, n+1) = A(0, A(1, n)) = A(1, n) + 1. Per Induktionsvoraussetzung ist A(1,n) = n+2, womit A(1, n+1) = A(1, n) + 1 = n+2 + 1 = (n+1) + 2 ist.

Fuer A(2, n) machst du das jetzt genauso.

HTH Felix



Bezug
                
Bezug
Ackermann Funktion / Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:52 Sa 03.12.2005
Autor: Nephilim

ok ich denke jetzt hab ich im großen und ganzen vestanden wie man vorgeht
danke :)

Bezug
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