Addition irrationaler Zahlen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:22 Fr 25.04.2014 | | Autor: | abc40154 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es unendlich viele Q-Untervektorräume von R gibt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute,
Für meine Aufgabe habe ich mir folgende Untervektorräume definiert:
Wähle eine Primzahl p. Dann existieren unendlich viele Untervektorräume
A = R \ {a*sqrt(p)| a Element Q, a != 0}
Meine Frage ist:
Ist es nicht möglich, durch geeignete Wahl von 2 irrationalen Zahlen, welche kein Vielfaches von sqrt(p) sind, durch deren Addition auf ein Vielfaches von sqrt(p) zu kommen?
Bei den natürlichen Zahlen ist das ja möglich, zum Beispiel für Vielfache von 2 nimmt man 1+3=4, aber bei den irrationalen vermute ich, dass es nicht geht, nur warum?
Wenn ja, wäre meine Aufgabe gelöst, daher wär das echt gut
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 Fr 25.04.2014 | | Autor: | hippias |
Deine Menge $A$ ist nicht additiv abgeschlossen, worauf sich ja auch deine Frage bezieht. Nimm etwa [mm] $1+(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}$. [/mm] Weder $1$ noch [mm] $\sqrt{2}-1$ [/mm] sind rationale Vielfache von [mm] $\sqrt{2}$, [/mm] liegen also in $A$.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Fr 25.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass es unendlich viele Q-Untervektorräume von
> R gibt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo Leute,
>
> Für meine Aufgabe habe ich mir folgende Untervektorräume
> definiert:
>
> Wähle eine Primzahl p. Dann existieren unendlich viele
> Untervektorräume
>
> A = R \ {a*sqrt(p)| a Element Q, a != 0}
>
> Meine Frage ist:
> Ist es nicht möglich, durch geeignete Wahl von 2
> irrationalen Zahlen, welche kein Vielfaches von sqrt(p)
> sind, durch deren Addition auf ein Vielfaches von sqrt(p)
> zu kommen?
> Bei den natürlichen Zahlen ist das ja möglich, zum
> Beispiel für Vielfache von 2 nimmt man 1+3=4, aber bei den
> irrationalen vermute ich, dass es nicht geht, nur warum?
>
> Wenn ja, wäre meine Aufgabe gelöst, daher wär das echt
> gut
Nachdem hippias Deine Frage geklärt hat, ein Tipp von mir zur Aufgabe:
zeige, dass [mm] \IR [/mm] als Vektorraum über [mm] \IQ [/mm] die Dimension [mm] \infty [/mm] hat.
Dazu nimm an, die Dimension wäre endlich, etwa n (n [mm] \in \IN). [/mm] Sei [mm] \{b_1,...,b_n\} [/mm] eine Basis von [mm] \IR [/mm] (als Vektorraum über [mm] \IQ). [/mm] Jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] lässt sich also in eindeutiger Weise darstellen in der Form
[mm] $x=\summe_{i=1}^{n}r_ib_i$ [/mm] mit [mm] $r_1,...,r_n \in \IQ$.
[/mm]
Nun versuche, einen Widerspruch zu bekommen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Fr 25.04.2014 | | Autor: | abc40154 |
Ich kann deine Antwort nun nach einigem Nachlesen nachvollziehen, aber leider hatten wir die Begriffe Basis und Dimension in unserer Vorlesung noch nicht, die hab ich mir jetzt aus unserem Skript nachgelesen.
Nach deiner Antwort stimmt also folgendes oder:
Es gibt unendlich viele [mm] \IQ [/mm] -Untervektorräume von [mm] \IR [/mm] => [mm] \IR [/mm] als [mm] \IQ [/mm] -Vektorraum hat die Dimension [mm] \infty [/mm] .
Als Erklärung hab ich mir gedacht, dass man dann ja jeweils unendlich viele Basen aus dem Vektorraum entfernen könnte und dabei dann unendlich viele Untervektorräume entstehen oder? Warum gilt das?
Zu dem Widerspruch: Muss ich mir eine irrationale Zahl x suchen, sodass diese nicht durch $ [mm] x=\summe_{i=1}^{n}r_ib_i [/mm] $ darstellbar ist?
Vielen Dank schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:57 Sa 26.04.2014 | | Autor: | hippias |
Ich fand deine urspruengliche Idee eigentlich gut, nur dass Du nicht das Komplement von [mm] $\IQ\sqrt{p}$ [/mm] betrachten solltest, sondern die Menge selber.
Im uebrigen ist ein Vektorraum, der unendlich viele Teilraeume hat nichts erstaunliches: stelle dir die Zeichenebene vor. Darin lassen sich ohne Probleme unendlich viele Ursprungsgeraden einzeichnen.
Schwieriger waere es zu zeigen, dass der [mm] $\IQ$-Vektorraum $\IR$ [/mm] Teilraeume beliebiger Dimension hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Sa 26.04.2014 | | Autor: | abc40154 |
Danke, die Idee einfach die Menge aller Wurzeln der Primzahlen zu betrachten ist echt gut:) endlich sind die Hausaufgaben für LA diese Woche geschafft👍
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Sa 26.04.2014 | | Autor: | fred97 |
Wenn sich jedes $ x [mm] \in \IR [/mm] $ in eindeutiger Weise in der Form
$ [mm] x=\summe_{i=1}^{n}r_ib_i [/mm] $ mit $ [mm] r_1,...,r_n \in \IQ [/mm] $
darstellen lässt, so ist doch [mm] \IR [/mm] abzählbar !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Fr 25.04.2014 | | Autor: | fred97 |
Nachtrag: jede Basis von [mm] \IR [/mm] als Vektorraum über [mm] \IQ [/mm] ist überabzählbar !
FRED
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