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Addition von Sesquilinearform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:55 Di 19.04.2016
Autor: maggie123

Aufgabe
V ein endlich-dimensionaler [mm]\IK - VR[/mm].
Zeigen Sie:  Die Menge der Sesquilinearformen [mm] V\times V \to \IK [/mm] bilden unter der Addition und Skalarmultiplikation von K-wertigen Funktionen auf [mm]V\times V [/mm] einen [mm]\IK - VR[/mm] und insbesondere einen [mm]\IR - VR[/mm]

Hey!

Ich bin zurzeit dabei einige Themen aus dem letzten Semestern zu wiederholen und habe noch eine Probleme mit Sesquilinearformen. Definition usw. ist mir bekannt. Ich habe mich an ein paar Aufgaben aus  Bosch: Lineare Algebra gewagt und bekomme schon mit oben genannter Aufgabe meine Probleme. Mir ist klar, wie ich die VR-Axiome nachweisen kann. Ich weiß nur nich, wie die Addition und Skalarmultiplikation von Sesqulinearformen genau aussieht.
Könnte mir das jemand erklären?

LG maggie

        
Bezug
Addition von Sesquilinearform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 Di 19.04.2016
Autor: hippias

Laut Aufgabenstellung wird die Addition und Skalarmultiplikation des Raumes der $K$-wertigen Funktionen auf [mm] $V\times [/mm] V$ zugrunde gegelegt, also koordinatenweise: $(f+g)(x)= f(x)+g(x)$ etc.

Genügt das?

Bezug
                
Bezug
Addition von Sesquilinearform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 Di 19.04.2016
Autor: maggie123

Vielleicht gehe ich falsch an die Aufgabe heran. Ich habe von meinem alten Tutor den Tipp bekommen, dass ich eine Formel für die Summe zweier Sesquilinearformen bzw. eine Formel für die Mulitplikation einer Sesquilinearform mit einem Skalar finden und nachweisen soll, dass durch die Formeln wieder eine Sesquilinearform gegeben ist. Ich verstehe zwar die Beweisidee, kann mir aber nichts unter einer "Formel für die Addition" vorstellen.

LG maggie

Bezug
                        
Bezug
Addition von Sesquilinearform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:33 Di 19.04.2016
Autor: fred97


> Vielleicht gehe ich falsch an die Aufgabe heran. Ich habe
> von meinem alten Tutor den Tipp bekommen, dass ich eine
> Formel für die Summe zweier Sesquilinearformen bzw. eine
> Formel für die Mulitplikation einer Sesquilinearform mit
> einem Skalar finden und nachweisen soll, dass durch die
> Formeln wieder eine Sesquilinearform gegeben ist. Ich
> verstehe zwar die Beweisidee, kann mir aber nichts unter
> einer "Formel für die Addition" vorstellen.


Seien $f,g:V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IK$ [/mm]  zwei Sesquilinearformen und $ [mm] \alpha \in \IK$. [/mm]

Definiere Die Abbildungen $h,k:V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IK$ [/mm] durch

   $h(x,y):=f(x,y)+g(x,y)$

und

   $ k(x,y):= [mm] \alpha [/mm] f(x,y)$.

Deine Aufgabe besteht nun darin, dass Du zeigst:

    $h$ und $k$ sind wieder Sesquilinearformen.

FRED

>  
> LG maggie


Bezug
                                
Bezug
Addition von Sesquilinearform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 Di 19.04.2016
Autor: maggie123

Davon ausgehend, dass koordinatenweise addiert wird, wie hippias in seiner Antwort angemerkt hat, würde es also reichen wenn ich:
[mm](\lambda *f+g)(\alpha *x+y, \beta *v+w) = .... = \alpha * \overline{\beta}*(\lambda *f+g)(x,v) + \alpha *(\lambda *f+g)(x,w) +\overline{\beta}*(\lambda *f+g)(y,v) +(\lambda *f+g)(y,w) \forall v,w,x,y \in V \forall \alpha,\beta,\lambda \in \IK [/mm]

zeige? Das wäre ja dann nur ein wenig Schreibarbeit

LG
maggie

Bezug
                                        
Bezug
Addition von Sesquilinearform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:41 Di 19.04.2016
Autor: hippias

Ja, das ist nur Schreibarbeit.

Bezug
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