Additionssatz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:50 Mo 24.10.2011 | | Autor: | louis92 |
Hallo Bin neu hier und sitze gerade ratlos vor einer Beweisaufgabe. Und zwar möchte ich zeigen, dass
[mm] P(\bigcup_{i=1}^{n} A_i) \ge \summe_{i=1}^{n} A_i [/mm] - [mm] \summe_{1\le i,j \le n}^{} P(A_i \cap A_j) [/mm] Der Fall der Gleichheit entspricht einfach dem allgemeinen Additionssatz. Nun möchte ich noch die größer Ungleichung beweisen. Hat jemand einen Tipp wie man hierbei am Besten ansetzen könnte?
Viele Grüße
Louis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:31 Mo 24.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Louis!
> Hallo Bin neu hier und sitze gerade ratlos vor einer
> Beweisaufgabe. Und zwar möchte ich zeigen, dass
> [mm]P(\bigcup_{i=1}^{n} A_i) \ge \summe_{i=1}^{n} A_i[/mm] -
> [mm]\summe_{1\le i,j \le n}^{} P(A_i \cap A_j)[/mm] Der Fall der
> Gleichheit entspricht einfach dem allgemeinen
> Additionssatz. Nun möchte ich noch die größer
> Ungleichung beweisen. Hat jemand einen Tipp wie man hierbei
> am Besten ansetzen könnte?
Ich wuerd's per Induktion nach $n$ machen.
Die Faelle $n = 0, 1, 2$ sind einfach. Und der Schritt von $n$ auf $n + 1$ duerfte auch nicht so schwer sein; setze $A := [mm] \bigcup_{i=1}^n A_i$ [/mm] und betrachte $P(A [mm] \cup A_{n+1})$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Di 25.10.2011 | | Autor: | louis92 |
Ok probier es einfach mal.
Induktionsanfang für n=1 gilt
[mm] P(A_1) \ge P(A_1) [/mm] - [mm] P(A_1) [/mm] = 0
Induktionsschritt n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] P((A_1 \cup \cup A_n) \cup A_{n+1}) =P(A_1 \cup \cup A_n) +P(A_{n+1}) [/mm] - ?? [mm] \ge \summe_{i=1}^{n} P(A_i) [/mm] - [mm] \summe_{1\le i,j\le n}^{} P(A_i \cap A_j) [/mm] + [mm] P(A_{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{1\le i \le n+1}^{} P(A_i) -P(A_{n+1}) [/mm] - [mm] \summe_{1\le i,j\le n+1}^{} P(A_i \cap A_j) [/mm] - ? + [mm] P(A_{n+1}) [/mm]
Nach dem ersten Gleichheitszeichen möchte ich den allgemeinen Additionssatz anwende jedoch fehlt bei dem Fragezeichen noch was. Danach habe ich die I.V angewandt. Nach dem letzten Gleichheitszeichen wollte ich bis auf n+1 summieren. Um Gleichheit gewährleisten zu können muss man danach aber was abziehen. jedoch weiß ich nicht was man an der Stelle des Fragezeichens noch abziehen müsste. Ist der Beweis ein bisschen zu einfach gedacht oder ist das so prinzipiell möglich?
louis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 Mi 26.10.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
$ [mm] P((A_1 \cup\dots \cup A_n) \cup A_{n+1}) =P(A_1 \cup\dots \cup A_n) +P(A_{n+1})-P(( A_1 \cup\dots \cup A_n)\cap A_{n+1})$ [/mm]
vg Luis
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:36 Mi 26.10.2011 | | Autor: | louis92 |
Ok also der I.A bleibt der gleiche nun zum Induktionsschritt:
Es ist [mm] P((A_1\cup....\cup A_n)\cup A_{n+1}) [/mm] = [mm] P(A_1\cup....\cup A_n) [/mm] + [mm] P(A_{n+1}) [/mm] - [mm] P((A_1 \cap A_{n+1}) \cup (A_2 \cap A_{n+1}) \cup.....\cup (A_n \cap A_{n+1})) \ge \summe_{1 \le i \le n}^{} P(A_i) [/mm] - [mm] \summe_{1 \le i ,j\le n}^{} P(A_i \cap A_j) +P(A_{n+1}) [/mm] - [mm] \summe_{1 \le i \le n}^{} [/mm] P( [mm] \bigcap_{i=1}^{n} A_i \cap A_{n+1})= \summe_{1 \le i \le n+1}^{} P(A_i) [/mm] - [mm] P(A_{n+1}) [/mm] - [mm] \summe_{1 \le i ,j\le n+1}^{}P(A_i \cap A_j) [/mm] - [mm] \summe_{1 \le i \le n+1}^{} P(A_i \cap A_{n+1}) +P(A_{n+1}) [/mm] + [mm] \summe_{1 \le i \le n+1}^{} P(\bigcap_{i=1}^{n+1} A_i)
[/mm]
Wäre das bis hierhin richtig?
Louis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Mi 26.10.2011 | | Autor: | louis92 |
Ok also der I.A bleibt der gleiche nun zum Induktionsschritt:
Es ist [mm] P((A_1\cup....\cup A_n)\cup A_{n+1}) [/mm] = [mm] P(A_1\cup....\cup A_n) [/mm] + [mm] P(A_{n+1}) [/mm] - [mm] P((A_1 \cap A_{n+1}) \cup (A_2 \cap A_{n+1}) \cup.....\cup (A_n \cap A_{n+1})) \ge \summe_{1 \le i \le n}^{} P(A_i) [/mm] - [mm] \summe_{1 \le i ,j\le n}^{} P(A_i \cap A_j) +P(A_{n+1}) [/mm] - [mm] \summe_{1 \le i \le n}^{} [/mm] P( [mm] \bigcap_{i=1}^{n} A_i \cap A_{n+1})= \summe_{1 \le i \le n+1}^{} P(A_i) [/mm] - [mm] P(A_{n+1}) [/mm] - [mm] \summe_{1 \le i ,j\le n+1}^{}P(A_i \cap A_j) [/mm] - [mm] \summe_{1 \le i \le n+1}^{} P(A_i \cap A_{n+1}) +P(A_{n+1}) [/mm] + [mm] \summe_{1 \le i \le n+1}^{} P(\bigcap_{i=1}^{n+1} A_i)
[/mm]
Wäre das bis hierhin richtig?
Louis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Sa 29.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Louis!
> Ok also der I.A bleibt der gleiche nun zum
> Induktionsschritt:
> Es ist [mm]P((A_1\cup....\cup A_n)\cup A_{n+1})[/mm] =
> [mm]P(A_1\cup....\cup A_n)[/mm] + [mm]P(A_{n+1})[/mm] - [mm]P((A_1 \cap A_{n+1}) \cup (A_2 \cap A_{n+1}) \cup.....\cup (A_n \cap A_{n+1}))[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\ge \summe_{1 \le i \le n}^{} P(A_i)[/mm] - [mm]\summe_{1 \le i ,j\le n}^{} P(A_i \cap A_j) +P(A_{n+1})[/mm] - [mm]\summe_{1 \le i \le n}^{}[/mm] P( [mm]\bigcap_{i=1}^{n} A_i \cap A_{n+1})[/mm]
Auf [mm] $P(A_1 \cup \dots \cup A_n)$ [/mm] hast du offenbar die Induktionsvoraussetzung angewandt. Aber was ist mit [mm] $P\biggl(\bigcup_{i=1}^n (A_i \cap A_{n+1})\biggr)$ [/mm] passiert? Das ergibt so keinen Sinn.
LG Felix
> [mm]= \summe_{1 \le i \le n+1}^{} P(A_i)[/mm]
> - [mm]P(A_{n+1})[/mm] - [mm]\summe_{1 \le i ,j\le n+1}^{}P(A_i \cap A_j)[/mm]
> - [mm]\summe_{1 \le i \le n+1}^{} P(A_i \cap A_{n+1}) +P(A_{n+1})[/mm]
> + [mm]\summe_{1 \le i \le n+1}^{} P(\bigcap_{i=1}^{n+1} A_i)[/mm]
>
> Wäre das bis hierhin richtig?
> Louis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Sa 29.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Louis!
> Und zwar möchte ich zeigen, dass
> [mm]P(\bigcup_{i=1}^{n} A_i) \ge \summe_{i=1}^{n} A_i[/mm] -
> [mm]\summe_{1\le i,j \le n}^{} P(A_i \cap A_j)[/mm]
Dazu hab ich eine Frage. Warum soll eine so schlechte Abschaetzung gezeigt werden? Die Aussage
> [mm]P(\bigcup_{i=1}^{n} A_i) \ge \summe_{i=1}^{n} A_i[/mm] - [mm]\summe_{1\le i < j \le n}^{} P(A_i \cap A_j)[/mm]
stimmt ebenso und liefert eine viel bessere untere Schranke.
(Ist $n = 2$, so gilt [mm] $P(A_1 \cup A_2) [/mm] = [mm] P(A_1) [/mm] + [mm] P(A_2) [/mm] - [mm] P(A_1 \cap A_2)$, [/mm] und bei der zweiten Ungleichung kommt auch [mm] $P(A_1 \cup A_2) \ge P(A_1) [/mm] + [mm] P(A_2) [/mm] - [mm] P(A_1 \cap A_2)$ [/mm] heraus, bei der ersten von dir jedoch [mm] $P(A_1 \cup A_2) \ge P(A_1) [/mm] + [mm] P(A_2) [/mm] - [mm] P(A_1 \cap A_1) [/mm] - [mm] P(A_1 \cap A_2) [/mm] - [mm] P(A_2 \cap A_1) [/mm] - [mm] P(A_2 \cap A_2) [/mm] = -2 [mm] P(A_1 \cap A_2)$.)
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Sa 29.10.2011 | | Autor: | louis92 |
Vielen Dank für deine Antwort. Diese hat mir sehr weitergeholfen.
Gruß
Louis
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