Additionstheor. Binomialkoeff. < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien a,b reelle Zahlen. Zeigen Sie durch vollständige Induktion nach n das sogenannte Additionstheorem der Binomialkoeffizienten:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{a \\ n-k} \vektor{b \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{a+b \\ n}
[/mm]
Was ergibt sich daraus für
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}^{2} [/mm] ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle !
Ich habe einen Induktionsbeweis bei dem ich nicht weiterkomme ..
Zunächst ist der IA : n=1
dann kommt man auf: a+b = a+b
Die Induktionsbehauptung ist nun: [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{a \\ n+1-k} \vektor{b \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{a+b \\ n+1}
[/mm]
Im IS fange ich nun wie folgt an:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{a \\ n+1-k} \vektor{b \\ k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{a \\ n-k} \vektor{b \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{a \\ n+1-k} \vektor{b \\ k} [/mm]
Nach IV gilt kann ich nun schreiben:
= [mm] \vektor{a+b \\ n} [/mm] + [mm] \vektor{a \\ n+1-k} \vektor{b \\ k} [/mm]
Dann wandel ich alles in Produktzeichen um:
= [mm] \bruch{1}{n!}\produkt_{i=0}^{n-1} [/mm] a+b-i + [mm] \bruch{1}{(n+1-k)!}\produkt_{i=0}^{n-k} [/mm] a-i * [mm] \bruch{1}{k!}\produkt_{i=0}^{k-1}b-i
[/mm]
An der Stelle weiß ic hnicht richtig weiter wie ich durch Produktgleiderabspaltung, indexverschiebung o.ä. hier weiterkommen soll..
Vielen Dank für die Hilfe !
PS: Auf einer anderen Seite habe ich gelesen, dass man für
[mm] \vektor{a+b \\ n} [/mm] auch [mm] \bruch{(a+b)^{n}}{n!} [/mm] schreiben kann ? Stimmt das? Wie kann man sich das erklären?!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Di 26.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
1.
> Es seien a,b reelle Zahlen
sollten es vielleicht natürliche Zahlen sein ?
2.
> Zunächst ist der IA : n=1
IA sollte n = 0 sein.
3.
Hier
> $ [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{a \\ n+1-k} \vektor{b \\ k} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{a \\ n-k} \vektor{b \\ k} [/mm] $ + $ [mm] \vektor{a \\ n+1-k} \vektor{b \\ k} [/mm] $
machst du einen Fehler.
Richtig müsste es heißen
$ [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{a \\ n+1-k} \vektor{b \\ k} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{a \\ n+1-k} \vektor{b \\ k} [/mm] $ + $ [mm] \vektor{a \\ 0} \vektor{b \\ k} [/mm] $
und darauf ist die IV nicht so leicht anwendbar.
Ich denke, dass der Beweis folgendermaßen aussehen könnte :
Die Richtigkeit von
(*) [mm] \vektor{u \\ v} [/mm] + [mm] \vektor{u \\ v+1} [/mm] = [mm] \vektor{u+1 \\ v+1}
[/mm]
wird als bewiesen vorausgesetzt. (Pascalsches Dreieck)
Im Induktionsschritt habe ich folgendermaßen umgeformt :
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{a \\ n+1-k}*\vektor{b \\ k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n+1} (\vektor{a-1 \\ n-k}+\vektor{a-1 \\ n-k+1})*\vektor{b \\ k} [/mm] wegen (*)
= [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{a-1 \\ n-k}*\vektor{b \\ k} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{a-1 \\ n-k+1}*\vektor{b \\ k}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{a-1 \\ n-k}*\vektor{b \\ k} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{a-1 \\ n-k+1}*\vektor{b \\ k} [/mm] weil der letzte Summand der ersten Summe 0 ist.
= [mm] \vektor{a-1+b \\ n} [/mm] + [mm] \vektor{a-1+b \\ n+1} [/mm] wegen der IV und (**) (siehe unten)
= [mm] \vektor{a+b \\ n+1} [/mm] wegen (*)
(**)
Beim vorletzten Gleichheitszeichen wird vorausgesetzt, dass der Satz schon für a-1 bewiesen ist.
Man muss die Formel also zunächst für a=0 beweisen, der Beweis ist dann eine doppelte Induktion nach a und n.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:28 Di 26.10.2010 | | Autor: | Lamb.da |
| Aufgabe | Die Behauptung der Aufgabe ist gleichbedeutend mit:
(x+y)^[n] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] x^[n-k] y[k]
wobei x^[n] die fallende Fakultät ist |
Hi,
also im Forster wird die Aufgabe als Übungsaufgabe 1.C mit Lösung vorgerechnet. Dort haben sie es mit der fallenden Fakultät wie oben ersetzt.Allerdings verstehe ich dort am Anfang Schritt nicht. und zwar:
n-> n+1
(x+y)^[n+1]= (x+y)^[n] (x+y-n) = [mm] \summe_{i=0}^{n} \{\vektor{n \\ k} x^[n-k] y[k]\}\{(x-n+k)+(y-k)\} =\summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] x^[n+1-k] y[k] + [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] x^[n-k] y[k+1] =...
warum setzt man oben ein +k - k ein? ich versteh nicht was das bewirkt da danach die zeile doch lediglich das gleiche ist als ob man mit (x+y) multipliziert hätte. demnach müsste sich das (-n+k)+(-k) irgendwie gegenseitig aufheben. aber keine ahnung wie das gehen soll...
bitte um aufklärung =)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 Di 26.10.2010 | | Autor: | Lamb.da |
Habe es mir gerade nochmal angeschaut und es war mal wieder so offensichtlich,dass ich es nicht gesehen hab^^
Jedenfalls nochmal eine große entschuldigung für die komische konvertierung... irgendwie hat das nicht geklappt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:38 Di 26.10.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Lamb.da,
heißt das, dass sich die Frage damit erledigt hat?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Do 28.10.2010 | | Autor: | Lamb.da |
ja, jetzt ist alles klar =)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Di 26.10.2010 | | Autor: | moudi |
> Hi,
>
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> 1.
> > Es seien a,b reelle Zahlen
> sollten es vielleicht natürliche Zahlen sein ?
Das ist nicht nötig. Man kann die Binomialkoeffizienten [mm] $\binom [/mm] an$ fuer [mm] $a\in\mathbb [/mm] R$ und [mm] $n\in\mathbb N_0$ [/mm] definieren als [mm] $\binom an=\frac{\prod\limits_{k=0}^{n-1}(a-k)}{n!}$, [/mm] wobei das leere Produkt als 1 zu interpretieren ist.
>
> 2.
> > Zunächst ist der IA : n=1
> IA sollte n = 0 sein.
>
> 3.
> Hier
>
> > [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{a \\ n+1-k} \vektor{b \\ k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{a \\ n-k} \vektor{b \\ k}[/mm] +
> [mm]\vektor{a \\ n+1-k} \vektor{b \\ k}[/mm]
>
> machst du einen Fehler.
>
> Richtig müsste es heißen
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{a \\ n+1-k} \vektor{b \\ k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{a \\ n+1-k} \vektor{b \\ k}[/mm] +
> [mm]\vektor{a \\ 0} \vektor{b \\ k}[/mm]
> und darauf ist die IV
> nicht so leicht anwendbar.
>
> Ich denke, dass der Beweis folgendermaßen aussehen könnte
> :
>
> Die Richtigkeit von
> (*) [mm]\vektor{u \\ v}[/mm] + [mm]\vektor{u \\ v+1}[/mm] = [mm]\vektor{u+1 \\ v+1}[/mm]
>
> wird als bewiesen vorausgesetzt. (Pascalsches Dreieck)
Das gilt auch fuer die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten.
>
> Im Induktionsschritt habe ich folgendermaßen umgeformt :
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{a \\ n+1-k}*\vektor{b \\ k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} (\vektor{a-1 \\ n-k}+\vektor{a-1 \\ n-k+1})*\vektor{b \\ k}[/mm]
> wegen (*)
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{a-1 \\ n-k}*\vektor{b \\ k}[/mm] +
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{a-1 \\ n-k+1}*\vektor{b \\ k}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{a-1 \\ n-k}*\vektor{b \\ k}[/mm] +
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{a-1 \\ n-k+1}*\vektor{b \\ k}[/mm]
> weil der letzte Summand der ersten Summe 0 ist.
>
> = [mm]\vektor{a-1+b \\ n}[/mm] + [mm]\vektor{a-1+b \\ n+1}[/mm] wegen der IV
> und (**) (siehe unten)
>
> = [mm]\vektor{a+b \\ n+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
wegen (*)
>
> (**)
> Beim vorletzten Gleichheitszeichen wird vorausgesetzt, dass
> der Satz schon für a-1 bewiesen ist.
>
> Man muss die Formel also zunächst für a=0 beweisen, der
> Beweis ist dann eine doppelte Induktion nach a und n.
Das ist wiederum unnoetig, da man die Allaussage $\forall a\in\mathbb R\ \forall b\in\mathbb R\ \sum\limits_{k=0}^n{\binom{a}{n-k}\binom{b}{k}=\binom{a+b}{n}$ induktiv nach n beweist.
>
> Gruß Sax.
mfG Moudi
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