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| Aufgabe | Aufgabe 45 Beweise das Additionstheorem für den Tangens:
tan(x + y) =
(tan x + tan y)/
(1 − tan x tan y)
für x, y [mm] \in [/mm] R mit x, y, x + y [mm] \not\in \pi/2+ \pi\IZ
[/mm]
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Hat jemand eine Idee wie ich da rangehen soll?
Ich weiß ja, dass
[mm] sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta+ cos\beta [/mm] sin
[mm] \alpha
[/mm]
[mm] cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta- sin\alpha sin\beta
[/mm]
[mm] tan\alpha=sin\alpha/cos\alpha
[/mm]
für [mm] tan(\alpha+\beta) [/mm] müssen wir ja lediglich für sin und cos die addtionstheoreme von sin und cos einsetzen. also:
[mm] tan(\alpha+\beta)=(sin\alpha cos\beta+ cos\alpha sin\beta)/(cos\beta cos\alpha- sin\alpha sin\beta)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Fr 19.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Monsterzicke!
Du bist ja bereits auf einem guten Weg. Nun musst Du hier jeweils [mm] $\cos\alpha*\cos\beta$ [/mm] ausklammern:
[mm]\tan(\alpha+\beta)= \bruch{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\bruch{\sin\alpha*\cos\beta+\cos\alpha *\sin\beta}{\cos\beta*\cos\alpha-\sin\alpha*\sin\beta} \ = \ \bruch{\cos\alpha*\cos\beta*\left(\bruch{\sin\alpha*\cos\beta}{\cos\alpha*\cos\beta}+\bruch{\cos\alpha *\sin\beta}{\cos\alpha*\cos\beta}\right)}{\cos\alpha*\cos\beta*\left(\bruch{\cos\alpha*\cos\beta}{\cos\alpha*\cos\beta}-\bruch{\sin\alpha *\sin\beta}{\cos\alpha*\cos\beta}\right)} \ = \ ...[/mm]
Nun kürzen und jeweils die Definition [mm] $\bruch{\sin\gamma}{\cos\gamma} [/mm] \ = \ [mm] \tan\gamma$ [/mm] anwenden.
Gruß
Loddar
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Hi! Danke für deine Bemühungen.
Ich habe das mal gekürz und habe jetzt da stehen:
[mm] (sin\alpha/cos\alpha [/mm] + [mm] sin\beta/cos\beta) [/mm] / [mm] -(sin\alpha*sin\beta [/mm] / [mm] cos\alpha*cos\beta)
[/mm]
mit Kehrwert multiplizieren:
--> [mm] (sin\alpha/cos\alpha [/mm] + [mm] sin\beta/ cos\beta) [/mm] * [mm] -(cos\alpha *cos\beta/sin\alpha *sin\beta)
[/mm]
Ähm, und was ist jetzt genau diese Definition mit [mm] \gamma, [/mm] die du meinst?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Sa 20.01.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Hi! Danke für deine Bemühungen.
> Ich habe das mal gekürz und habe jetzt da stehen:
> [mm](sin\alpha/cos\alpha[/mm] + [mm]sin\beta/cos\beta)[/mm] /
> [mm]-(sin\alpha*sin\beta[/mm] / [mm]cos\alpha*cos\beta)[/mm]
Da müsste aber stehen
[mm] \br{sin(\alpha)/cos(\alpha) + sin(\beta)/cos(\beta)}{1-sin(\alpha)sin(\beta) / cos(\alpha)cos(\beta)}
[/mm]
Die 1 hast Du vergessen.
Danach dann das anwenden was Loddar geschrieben hat, [mm] \br{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}=tan(\alpha). [/mm] Dann folgt:
[mm] \br{tan(\alpha)+tan(\beta)}{1-tan(\alpha)tan(\beta)}
[/mm]
und das wars dann auch schon.
mfg ullim
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Hey! Dankem, danke, danke! Ich habs kapiert. Ein wirklich doofer Fehler von mir, muss ich zugeben...
Ein schönes WE!
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