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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Mi 11.12.2013 | | Autor: | jayw |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie die Menge aller x [mm] \in \IR, [/mm] für die gilt:
$ sin(2x)+2cos^2x >2 [mm] \$ [/mm] |
| Aufgabe 2 | Zeigen Sie, dass für alle x, y [mm] \in \IR [/mm] gilt:
a) $ sin(x) cos(y) = [mm] \bruch{1}{2}sin(x-y)+ \bruch{1}{2} [/mm] sin(x + y) [mm] \$
[/mm]
b) $ sin(x) + sin(y) = 2 sin [mm] (\bruch{x+y}{2})cos(\bruch{x-y}{2}) \$ [/mm] |
Zur Aufgabe 1:
Ich habe hier zunächst mit den Additionstheoremen umgeformt zu:
[mm] \gdw [/mm] $ 2sinx*cosx+1+cos(2x)>2 [mm] \$
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] $ 2sinx*cosx+cos(2x)>1 [mm] \$
[/mm]
Ich komme da allerdings nicht weiter, die Lösungsmenge wird ja ziemlich unendlich sein, da ja bei jeder Schwingung der Wert 2 überschritten wird.
Wie kann ich das also jetzt lösen?
Zur Aufgabe 2:
Ich vermute, dass es etwas hiermit zu tun hat, aber mehr leider nicht:
$ sin(a [mm] \pm [/mm] b)=sin(a)*cos(b) [mm] \pm [/mm] sin(b)*cos(a) [mm] \$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Mi 11.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo jayw!
> Bestimmen Sie die Menge aller x [mm]\in \IR,[/mm] für die gilt:
> [mm]sin(2x)+2cos^2x >2 \[/mm]
>
> Ich habe hier zunächst mit den Additionstheoremen
> umgeformt zu:
> [mm]\gdw[/mm] [mm]2sinx*cosx+1+cos(2x)>2 \[/mm]
Hier machst Du für [mm] $\sin(2x)$ [/mm] einen guten Ansatz und reißt es dann mit [mm] $2*\cos^2(x)$ [/mm] wieder ein.
Mit [mm] $\sin(2x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\sin(x)*\cos(x)$ [/mm] wird:
[mm] $2*\sin(x)*\cos(x)+2*\cos^2(x) [/mm] \ > \ 2$
[mm] $\sin(x)*\cos(x)+\cos^2(x) [/mm] \ > \ 1$
[mm] $\cos(x)*\left[\sin(x)+\cos(x)\right] [/mm] \ > \ 1$
Hm, hier stecke ich jetzt auch ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Mi 11.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo jayw!
>
> > Bestimmen Sie die Menge aller x [mm]\in \IR,[/mm] für die gilt:
> > [mm]sin(2x)+2cos^2x >2 \[/mm]
> >
> > Ich habe hier zunächst mit den Additionstheoremen
> > umgeformt zu:
> > [mm]\gdw[/mm] [mm]2sinx*cosx+1+cos(2x)>2 \[/mm]
>
> Hier machst Du für [mm]\sin(2x)[/mm] einen guten Ansatz und reißt
> es dann mit [mm]2*\cos^2(x)[/mm] wieder ein.
>
> Mit [mm]\sin(2x) \ = \ 2*\sin(x)*\cos(x)[/mm] wird:
>
> [mm]2*\sin(x)*\cos(x)+2*\cos^2(x) \ > \ 2[/mm]
Holzhammermethode: Jetzt [mm] $sin(x)=\pm\sqrt{1-cos^2(x)}$ [/mm] einsetzen, nach der Wurzel umstellen und quadrieren.
Etwas ungemütlich, weil eine nichtäquivalente Umformung verwendet wird (Probe erforderlich).
Gruß Abakus
>
> [mm]\sin(x)*\cos(x)+\cos^2(x) \ > \ 1[/mm]
>
> [mm]\cos(x)*\left[\sin(x)+\cos(x)\right] \ > \ 1[/mm]
>
> Hm, hier stecke ich jetzt auch ...
>
>
> Gruß
> Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Mi 11.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Zeigen Sie, dass für alle x, y [mm]\in \IR[/mm]
> gilt:
> a) sin(x) cos(y) = [mm] \bruch{1}{2}sin(x-y)+ \bruch{1}{2} [/mm] sin(x + y)
Stur Additionstheorem anwenden!
[mm] \frac{1}{2}(\sin(x-y)+\sin(x+y))=\frac{1}{2}(\sin(x)\cos(y)-\sin(y)\cos(x)+\sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x))=\ldots
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Fr 13.12.2013 | | Autor: | jayw |
Danke!
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Hallo jayw,
> b) [mm]sin(x) + sin(y) = 2 sin (\bruch{x+y}{2})cos(\bruch{x-y}{2}) \[/mm]
>
> Zur Aufgabe 2:
> Ich vermute, dass es etwas hiermit zu tun hat, aber mehr
> leider nicht:
> [mm]sin(a \pm b)=sin(a)*cos(b) \pm sin(b)*cos(a) \[/mm]
Gute Vermutung.
Berechne mit diesem Additionstheorem
[mm] \sin{\left(\bruch{x+y}{2}+\bruch{x-y}{2}\right)}+\sin{\left(\bruch{x+y}{2}-\bruch{x-y}{2}\right)}=\cdots
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Fr 13.12.2013 | | Autor: | jayw |
Okay, das war zu einfach, danke ;)
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Hallo jayw,
das fing in der Tat nicht schlecht an.
> Bestimmen Sie die Menge aller x [mm]\in \IR,[/mm] für die gilt:
> [mm]sin(2x)+2cos^2x >2 \[/mm]
> Zur Aufgabe 1:
> Ich habe hier zunächst mit den Additionstheoremen
> umgeformt zu:
> [mm]\gdw[/mm] [mm]2sinx*cosx+1+cos(2x)>2 \[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]2sinx*cosx+cos(2x)>1 \[/mm]
>
> Ich komme da allerdings nicht weiter, die Lösungsmenge
> wird ja ziemlich unendlich sein, da ja bei jeder Schwingung
> der Wert 2 überschritten wird.
> Wie kann ich das also jetzt lösen?
Wie schon vorgeschlagen, fasse den linken Term auch zusammen, dann hast Du
[mm] \sin{(2x)}+\cos{2x}>1
[/mm]
Daraus folgt [mm] \sin{(2x)}>0\;\;\wedge\;\;\cos{(2x)}>0, [/mm] mithin [mm] 0<2x<\pi. [/mm] Jetzt quadrieren (Achtung: linke Seite ist schon vorher sicher positiv!):
[mm] \sin^2{(2x)}+2\sin{(2x)}\cos{(2x)}+\cos^2{(2x)}>1
[/mm]
Mit trigonometrischem Pythagoras folgt [mm] 2\sin{(2x)}\cos{(2x)}>0.
[/mm]
Jetzt nochmal Additionstheorem angewandt:
[mm] \sin{(4x)}>0; [/mm] und das im Intervall [mm] x\in\left(0;\bruch{\pi}{2}\right). [/mm] Wie Du siehst, ist das dann immer erfüllt.
Hier ist trotz des Quadrierens keine Probe nötig!
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Fr 13.12.2013 | | Autor: | jayw |
> Wie schon vorgeschlagen, fasse den linken Term auch
> zusammen, dann hast Du
>
> [mm]\sin{(2x)}+\cos{2x}>1[/mm]
>
> Daraus folgt [mm]\sin{(2x)}>0\;\;\wedge\;\;\cos{(2x)}>0,[/mm] mithin
> [mm]0<2x<\pi.[/mm] Jetzt quadrieren (Achtung: linke Seite ist schon
> vorher sicher positiv!):
>
> [mm]\sin^2{(2x)}+2\sin{(2x)}\cos{(2x)}+\cos^2{(2x)}>1[/mm]
>
> Mit trigonometrischem Pythagoras folgt
> [mm]2\sin{(2x)}\cos{(2x)}>0.[/mm]
Da komme ich nicht mit. Ich habe:
[mm]\sin^2{(2x)}+2\sin{(2x)}\cos{(2x)}+\cos^2{(2x)}>1[/mm]
[mm]\gdw 1-\cos(2x)+2\sin(2x)*\cos(2x)+1+\cos(2x)>1[/mm]
Wie wird daraus jetzt [mm]2\sin{(2x)}\cos{(2x)}>0[/mm] ?
Das das [mm] \cos(2x) [/mm] wegfällt ist klar, aber ich habe doch links zusätzlich 1+1? Wo ist mein Fehler?
>
> Jetzt nochmal Additionstheorem angewandt:
>
> [mm]\sin{(4x)}>0;[/mm] und das im Intervall
> [mm]x\in\left(0;\bruch{\pi}{2}\right).[/mm] Wie Du siehst, ist das
> dann immer erfüllt.
Muss da nich irgendeine Konstante rein [mm] (K*\pi) [/mm] um der sich endlos wiederholenden Schwingung gerecht zu werden?
> Hier ist trotz des Quadrierens keine Probe nötig!
>
> Grüße
> reverend
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Hallo jayw,
> > Wie schon vorgeschlagen, fasse den linken Term auch
> > zusammen, dann hast Du
> >
> > [mm]\sin{(2x)}+\cos{2x}>1[/mm]
> >
> > Daraus folgt [mm]\sin{(2x)}>0\;\;\wedge\;\;\cos{(2x)}>0,[/mm] mithin
> > [mm]0<2x<\pi.[/mm] Jetzt quadrieren (Achtung: linke Seite ist schon
> > vorher sicher positiv!):
> >
> > [mm]\sin^2{(2x)}+2\sin{(2x)}\cos{(2x)}+\cos^2{(2x)}>1[/mm]
> >
> > Mit trigonometrischem Pythagoras folgt
> > [mm]2\sin{(2x)}\cos{(2x)}>0.[/mm]
> Da komme ich nicht mit. Ich habe:
> [mm]\sin^2{(2x)}+2\sin{(2x)}\cos{(2x)}+\cos^2{(2x)}>1[/mm]
> [mm]\gdw 1-\cos(2x)+2\sin(2x)*\cos(2x)+1+\cos(2x)>1[/mm]
Das muss doch so lauten:
[mm]\gdw 1-\cos\red{^{2}}(2x)+2\sin(2x)*\cos(2x)+\cos\red{^{2}}(2x)>1[/mm]
> Wie wird
> daraus jetzt [mm]2\sin{(2x)}\cos{(2x)}>0[/mm] ?
> Das das [mm]\cos(2x)[/mm] wegfällt ist klar, aber ich habe doch
> links zusätzlich 1+1? Wo ist mein Fehler?
> >
> > Jetzt nochmal Additionstheorem angewandt:
> >
> > [mm]\sin{(4x)}>0;[/mm] und das im Intervall
> > [mm]x\in\left(0;\bruch{\pi}{2}\right).[/mm] Wie Du siehst, ist das
> > dann immer erfüllt.
Das stimmt nicht.
Es muss [mm]x\in\left(0;\bruch{\pi}{\blue{4}}\right)[/mm] sein.
> Muss da nich irgendeine Konstante rein [mm](K*\pi)[/mm] um der sich
> endlos wiederholenden Schwingung gerecht zu werden?
>
Ja.
> > Hier ist trotz des Quadrierens keine Probe nötig!
> >
> > Grüße
> > reverend
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 15.12.2013 | | Autor: | jayw |
> Das stimmt nicht.
> Es muss [mm]x\in\left(0;\bruch{\pi}{\blue{4}}\right)[/mm] sein.
>
>
> > Muss da nich irgendeine Konstante rein [mm](K*\pi)[/mm] um der sich
> > endlos wiederholenden Schwingung gerecht zu werden?
> >
>
>
> Ja.
Danke dir, ich würde das jetzt so aufschreiben:
[mm] \bruch {\pi}{2}*k
Korrekt?
Mfg
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Hallo jayw,
> > Das stimmt nicht.
> > Es muss [mm]x\in\left(0;\bruch{\pi}{\blue{4}}\right)[/mm] sein.
> >
> >
> > > Muss da nich irgendeine Konstante rein [mm](K*\pi)[/mm] um der sich
> > > endlos wiederholenden Schwingung gerecht zu werden?
> > >
> >
> >
> > Ja.
>
> Danke dir, ich würde das jetzt so aufschreiben:
> [mm]\bruch {\pi}{2}*k
>
> Korrekt?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Mfg
>
Gruss
MathePower
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