Addtion und Schnittmenge UVRe < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien M,N,S Untervektorräume eines gegebenen VRs. Gilt dann stets folgende Aussage?
M [mm] \cap [/mm] ( N+S) = ( M [mm] \cap [/mm] N )+ (M [mm] \cap [/mm] S)
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Hallo!
Habe mir zu folgender Aufgabe überlegt, ob man nicht einfach zwei Fälle annehmen kann.
Zum einen, wenn sich N und S schneiden und zum anderen nicht.
Oder muss man ganz anders an die Aufgabe rangehen?
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Hallo Jana,
> Seien M,N,S Untervektorräume eines gegebenen VRs. Gilt dann
> stets folgende Aussage?
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> M [mm]\cap[/mm] ( N+S) = ( M [mm]\cap[/mm] N )+ (M [mm]\cap[/mm] S)
>
> Hallo!
>
> Habe mir zu folgender Aufgabe überlegt, ob man nicht
> einfach zwei Fälle annehmen kann.
> Zum einen, wenn sich N und S schneiden und zum anderen
> nicht.
Wie soll das gehen? Als UVRe haben $N,S$ doch stets mindestens den Nullvektor des gegebenen (Ober)VRes gemeinsam, ihr Schnitt kann also nie leer sein!
>
> Oder muss man ganz anders an die Aufgabe rangehen?
LG
schachuzipus
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hmm...ja das habe ich nicht bedacht!!
Okay, also wenn dich N,M und S ja alle schneiden erkennt man bei der Zeichung, dass bei
M [mm] \cap [/mm] (N + S) die schnittmenge von N und S nur einfach, bei
(M [mm] \cap [/mm] N) + ( N [mm] \cap [/mm] S) die Schnittmenge allerdings doppelt gezählt wird?!
Stimmt das??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Sa 22.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> hmm...ja das habe ich nicht bedacht!!
> Okay, also wenn dich N,M und S ja alle schneiden erkennt
> man bei der Zeichung, dass bei
> M [mm]\cap[/mm] (N + S) die schnittmenge von N und S nur einfach,
> bei
> (M [mm]\cap[/mm] N) + ( N [mm]\cap[/mm] S) die Schnittmenge allerdings
> doppelt gezählt wird?!
> Stimmt das??
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Was fuer ein mathematischer Sachverhalt ist
die Schnittmenge wird doppelt gezählt?
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Sa 22.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Jana,
gilt die Aussage fuer [mm] $M=\{(x,y,0)'\mid x,y\in\IR\}\subset\IR^3$, $N=\{(x,0,0)'\mid x\in\IR\}\subset\IR^3$ [/mm] und [mm] $S=\{(0,y,0)'\mid y\in\IR\}\subset\IR^3$?
[/mm]
vg Luis
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nein, sowas steht zumindest nicht bei der Aufgabe dabei!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Sa 22.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> nein, sowas steht zumindest nicht bei der Aufgabe dabei!
Du missverstehst mich. Meine Antwort koennte ein Gegenbeispiel sein ...
vg Luis
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Achso:)
wenn ich diese 3 Vektoren nun einsetze kommt bei
M /cap (N+S) meiner meinung nach (x,y,0) raus.
Bei (M [mm] \cap [/mm] N) + (M [mm] \cap [/mm] S) aber auch?!
oder ist (x,y,0) [mm] \cap [/mm] (x,0,0) nicht (x,0,0) sondern (0,0,0)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Sa 22.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> Achso:)
> wenn ich diese 3 Vektoren nun einsetze kommt bei
> M /cap (N+S) meiner meinung nach (x,y,0) raus.
> Bei (M [mm]\cap[/mm] N) + (M [mm]\cap[/mm] S) aber auch?!
Hallo Jana,
da habe ich leider in den Wald geschickt. Entschuldigung. ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Jana555555 |
:)
Naja ist ja kein Problem!
Trotzdem danke für die Mühe!
ich war mir eben auch nicht sicher ob das funktioniert oder nicht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Sa 22.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Jana,
dass ich dir ein falsches Gegenbeispiel genannt habe, hat sehr an mir
genagt...
Deswegen habe ich mich noch mal etwas in die Aufgabe gekniet.
Beh: $M [mm] \cap [/mm] ( N+S) = ( M [mm] \cap [/mm] N )+ (M [mm] \cap [/mm] S)$
Du musst zweierlei zeigen:
[mm] "$\subset$": [/mm] Sei [mm] $x\in [/mm] M [mm] \cap [/mm] ( N+S)$. Zu zeigen: [mm] $x\in [/mm] ( M [mm] \cap [/mm] N )+ (M [mm] \cap [/mm] S)$.
Wegen [mm] $x\in [/mm] M [mm] \cap [/mm] ( N+S)$ gibt es [mm] $n\in [/mm] N$ und [mm] $s\in [/mm] S$ mit $x=n+s$.
Ausserdem ist [mm] $x\in [/mm] M$. Frage: Gibt es [mm] $a\in M\cap [/mm] N$ und ein [mm] $b\in M\cap [/mm] S$, so dass
$x=a+b$? (Ich meine, dass das geht...)
[mm] "$\supset$": [/mm] Sei [mm] $x\in [/mm] ( M [mm] \cap [/mm] N )+ (M [mm] \cap [/mm] S)$ . Zu zeigen: [mm] $x\in [/mm] M [mm] \cap [/mm] ( N+S)$.
Dann gilt $x=a+b$ mit [mm] $a\in [/mm] M [mm] \cap [/mm] N$ und [mm] $b\in [/mm] M [mm] \cap [/mm] S$. Kannst du
jetzt schliessen, dass gilt $x=m +c$ mit [mm] $m\in [/mm] M$ und [mm] $c\in [/mm] N+S$?
vg Luis
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