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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:11 Do 17.11.2011 | | Autor: | Gedro |
| Aufgabe 1 | Sei [mm] x\in \IR, [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0. Sei [mm] m\in\IN_{0} [/mm] minimal mit der Eigenschaft, dass [mm] x\le 10^{m+1}. [/mm] Wir konstruieren eine Folge ganzer Zahlen [mm] (a_{k})_{k\ge-m} [/mm] durch die folgende Rekursionsvorschrift:
[mm] a_{-m} [/mm] := max{ [mm] l\in\IN [/mm] | [mm] l*10^m [/mm] < x }
[mm] a_{k+1} [/mm] := max{ [mm] l\in\IN [/mm] | [mm] \summe_{v=-m}^{k} a_{v}*10^{-v} [/mm] + [mm] l*10^{-(k+1)}\le [/mm] x }
Zeige, dass [mm] a_{k}\in\{0,...,9\} [/mm] für alle k [mm] \le [/mm] -m und dass [mm] \summe_{k=-m}^{\infty} a_{k}*10^{-k} [/mm] = x. |
| Aufgabe 2 | | Sei [mm] x\in\IR, x\ge [/mm] 0, sei [mm] d\in\IN [/mm] , [mm] d\ge [/mm] 2. Zeige: Es existieren ein [mm] m\in\IN_{0} [/mm] und eine Folge [mm] (a_{k})_ {k\ge -m} [/mm] mit [mm] a_{k}\in\{0,..,d-1\} [/mm] für alle [mm] k\ge [/mm] -m, so dass [mm] \summe_{k=-m}^{\infty} a_{k}*d^{-k} [/mm] = x. |
Bezüglich der ersten Aufgabe habe ich die erste Behauptung durch eine Induktion bewiesen:
I.A.: k=-m
Es gilt [mm] a_{-m} [/mm] := max{ [mm] l\in\IN [/mm] | [mm] l*10^m [/mm] < x }. Sei [mm] l\ge [/mm] 10, bzw. l = (10+n), mit [mm] n\in\IN_{0}, [/mm] dann gilt
[mm] (10*n)*10^m [/mm] = [mm] 10^{m+1}+n*10^m. [/mm] Das ist aber größer als x laut Voraussetzung und somit ein Widerspruch zur Definition von [mm] a_{-m}, [/mm] also ist [mm] l\in\{0,...,9\}. [/mm]
I.S.: [mm] k\mapsto [/mm] k+1
Es gilt [mm] a_{k+1} [/mm] := max{ [mm] l\in\IN [/mm] | [mm] \summe_{v=-m}^{k} a_{v}*10^{-v} [/mm] + [mm] l*10^{-(k+1)}\le [/mm] x }.
[mm] \Rightarrow [/mm] Nach I.V. gilt, dass alle [mm] a_{v}\in\{0,...,9\} [/mm] in der Summe und stets maximal nach Definition. Sei nun [mm] l\ge10, [/mm] also l=(10+n) mit [mm] n\in\IN_{0}, [/mm] dann gilt:
[mm] \summe_{v=-m}^{k} a_{v}*10^{-v} [/mm] + [mm] l*10^{-(k+1)} [/mm] = [mm] \summe_{v=-m}^{k-1} a_{v}*10^{-v} +a_{k}*10^{-k} [/mm] + [mm] l*10^{-(k+1)} [/mm] = [mm] \summe_{v=-m}^{k-1} a_{v}*10^{-v} +a_{k}*10^{-k} [/mm] + [mm] (10+n)*10^{-(k+1)} [/mm] =
[mm] \summe_{v=-m}^{k-1} a_{v}*10^{-v} +(a_{k}+1)*10^{-k} [/mm] + [mm] n*10^{-(k+1)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Da [mm] a_{k} [/mm] laut I.V. schon maximal war ist die Summe größer gleich x, was im Widerspruch zur Definition steht, also ist [mm] l\in\{0,...,9\} [/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Beim zweiten Beweis bin ich wie folgt vorgegangen:
Zu zeigen ist:
[mm] \summe_{k=-m}^{\infty} a_{k}*10^{-k} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} s_{n} [/mm] = x
I) Die Summe ist monoton wachsend. (Der Beweis ist klar, da die Reihenglieder stets positiv sind)
II) Die Summe ist nach oben und unten hin beschränkt. (Der Beweis ist ebenfalls klar, da laut Definition die Summe stets kleiner gleich x ist)
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Reihe konvergiert, um genau zu sein gilt nun:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} s_{n} [/mm] = [mm] sup\{s_{n} | n\ge -m\} [/mm]
Nun ist zu zeigen, dass:
[mm] sup\{s_{n} | n\ge -m\} [/mm] = x
I) Laut Definition sind alle Elemente aus der Menge kleiner gleich x.
II) Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0, dann gilt [mm] x-\varepsilon [/mm] < x. Zu zeigen ist nun, dass [mm] \exists a\in\{s_{n} | n\ge -m\}: x-\varepsilon [/mm] < a. Laut Definition der Summe gibt es ein n, sodass gilt [mm] s_{n} [/mm] > [mm] x-\bruch{\varepsilon}{2}. [/mm] Somit gilt [mm] x-\varepsilon< x-\bruch{\varepsilon}{2} [/mm] < x. Also ist x das Supremum der Menge und es gilt:
[mm] \summe_{k=-m}^{\infty} a_{k}*10^{-k} [/mm] = x
[mm] \Box [/mm]
Soweit so gut. Ich hoffe ich habe da keine Fehler im Beweis gemacht und das lässt sich so führen.
Doch meine eigentliche Frage bezieht sich auf die zweite Aufgabe.
Mir stellt sich nun Frage was ich hier jetzt machen soll? Das ist doch so gut wie der gleiche Beweis wie oben, nur, dass ich anstatt der 10 die Basis d einsetze, die Rekursionsvorschrift definiere und im Endeffekt alles 1:1 kopiere, nur dass ich halt noch sage dass [mm] (d^{n})_{n\in\IN} [/mm] eine monoton wachsende, bestimmt divergent Folge ist, da [mm] d\ge [/mm] 2 und somit über jede Zahl hinauswachsen kann. Die Aufgabe gibt nämlich genauso viele Punkte wie erste. Das irritiert mich und deswegen wollte ich fragen, ob ich den Beweis 1:1 wie oben führen kann oder übersehe ich da etwas?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG
Gedro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 19.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 10:20 So 20.11.2011 | | Autor: | Gedro |
Ich wollte die Fälligkeit der Frage erhöhen, da ich immer noch Interesse an einer Antwort habe. Danke!
Mfg
Gedro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Mi 23.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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