Adjungierte Abbildung bestimm. < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] (V,\gamma_{V}), (W,\gamma_{W}) [/mm] euklidische Vektorräume (können unendlichdimensional sein!), und [mm] \phi:V\to [/mm] W linear. Dann heißt [mm] \psi:W\to [/mm] V zu [mm] \phi [/mm] adjungiert, wenn für alle [mm] v\in [/mm] V, [mm] w\in [/mm] W gilt:
[mm] \gamma_{W}(\phi(v),w) [/mm] = [mm] \gamma_{V}(v,\psi(w)).
[/mm]
1) Zeige: Es gibt höchstens eine zu [mm] \phi [/mm] adjungierte Abbildung
2) Der Vektorraum [mm] \IR^{(\IN)} [/mm] der abbrechenden Folgen über dem Körper [mm] \IR [/mm] wird mit dem Skalarprodukt [mm] \gamma((x_{n})_{n\in\IN},(y_{n})_{n\in\IN} \mapsto\sum_{n\in\IN}a_{n}*b_{n} [/mm] zu einem euklidischen Vektorraum. Bestimmen Sie zu den folgenden Endomorphismen wenn möglich, die Adjungierte, oder zeigen Sie, dass es eine solche nicht gibt.
a) [mm] \phi:\IR^{(\IN)}\to\IR^{(\IN)}:(a_{1},a_{2},a_{3},...) \mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},...).
[/mm]
b) [mm] \psi:\IR^{(\IN)}\to\IR^{(\IN)}:(a_{1},a_{2},a_{3},...) \mapsto (\sum_{n\in\IN}a_{n},a_{1},a_{2},a_{3},...) [/mm] |
Hallo!
Bei obiger Aufgabe komme ich nicht weiter...
Zu 1): Ist das wirklich so einfach (ich glaube nicht...):
Wäre [mm] \psi' [/mm] eine weitere Adjungiert, müsste für alle [mm] v\in [/mm] V, [mm] w\in [/mm] W gelten:
[mm] $\gamma_{V}(v,\psi'(w)) [/mm] = [mm] \gamma_{W}(\phi(v),w) [/mm] = [mm] \gamma_{V}(v,\psi(w))$. [/mm] Daraus folgt für alle [mm] v\in [/mm] V, [mm] w\in [/mm] W: [mm] $\gamma_{V}(v,\psi'(w)-\psi(w)) [/mm] = 0$ (da Skalarprodukt linear), und daraus folgt wiederum, dass [mm] \psi'(w) [/mm] = [mm] \psi(w) [/mm] für alle [mm] w\in [/mm] W.
Zu 2): Hier hänge ich. Ich weiß, dass [mm] (e_{1},e_{2},e_{3},...) [/mm] eine ONB von [mm] \IR^{(IN)} [/mm] bzgl. des Skalarproduktes ist.
In der Vorlesung haben wir für endlichdimensionale VR die Formel gehabt: Für [mm] \phi:V\to [/mm] W ist
[mm] $\phi^{ad} [/mm] = [mm] \Gamma_{V}^{-1}\circ \phi^{\*} \circ \Gamma_{W}$,
[/mm]
wobei [mm] $\Gamma_{V}:V\to V^{\*}, w\mapsto \gamma(*,w)$ (V^{\*} [/mm] Dualraum zu V), und [mm] $\phi^{\*}:W^{\*}\to V^{\*}: [/mm] f [mm] \mapsto \phi\circ [/mm] f$.
Aber kann ich diese Formel jetzt trotzdem benutzen, obwohl die VR unendlichdimensional sind? Komme ich damit zum Ziel - muss ich alle drei Abbildungen oben ausrechnen?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Di 25.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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