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Adjungierte Abbildungen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:20 Mi 25.04.2007
Autor: TottiIII

Aufgabe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Sei K ein Körper, V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und b: V [mm] \times [/mm] V > K eine symmetrische nicht ausgeartete Bilinearform auf V. Man zeige:

1. Für jeden Endomorphismus f: V>V sind die Abbildungen V x V > K, (v,w) > b(v,f(w)) und V x V > K, (v,w) > b(f(v),w) Bilinearformen auf V.

2. ZU jeder Bilinearform d auf V gibt es genau einen Endomorphismus f: V >V, so dass für alle v,w € V gilt d(v,w) = b(v,f(w)).

3. ZU jedem Endomorphismus f: V > V gibt es genau einen Endomorphismus g : V > V, so dass für alle v,w € V gilt b(f(v),w) = b(v,g(w)).

Hollo zusammen,
ich komme bei der obrigen Aufgabe nicht weiter. D.h. bei 1 muß man glaube ich die Axiome nachrechnen, aber bei 2 und 3 fehlt mir der Durchblick. Wär cool, wenn mir jemand helfen könnte.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

TottiIII


        
Bezug
Adjungierte Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:12 Mi 25.04.2007
Autor: TottiIII

Hallo, kann mir bitte Jemand helfen. Ich komm hier echt nicht weiter.
Brauch bloß nen Ansatz. Das wär schon ne riesen Hilfe.

TottiIII

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Bezug
Adjungierte Abbildungen: Hilflos
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 Mi 25.04.2007
Autor: verkackt

Hallo Leute, kann jemand uns helfen.Ich hab dasselbe Problem, brauch nur ne Ansatz , um anzufangen.
Gruß V.

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Adjungierte Abbildungen: Antwort (nicht fertig)
Status: (Antwort) noch nicht fertig Status 
Datum: 19:07 Mi 25.04.2007
Autor: artic3000

Hallo,

also ich kann euch zumindest bei Aufgabe 1 helfen. Wie du scho gesagt hast muss man da nur die Axiome nachrechnen.
Dafür würde ich die neue Abbildung mit T bezeichenen, so dass gilt T(v,w) = b(v,f(w))
Die Abbildung T ist selbst eine Bilinearform, da sie die Axiome auch erfüllt dafür musst du nur die Eigenschafzten des Homomorphismus verwenden, sowie die Eigenschaften der Bilinearform b.

So ist z.B.
T(v,aw)=b(v,f(aw))=b(v,a*f(w))=a*b(v,f(w))=a*T(v,w)
oder auch
T(v,w+r)=b(v,f(w+r))=b(v,f(w)+f(r))=b(v,f(w)) + b(v,f(r))=T(v,w)+T(v,r)

Aufgabe 2 und 3 ist mir bis jetzt noch nix eingefallen, aber wenn, dann melde ich mich :-)
Viel Erfolg

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Adjungierte Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 Mi 25.04.2007
Autor: felixf

Hallo!

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Sei K ein Körper, V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und
> b: V [mm]\times[/mm] V > K eine symmetrische nicht ausgeartete
> Bilinearform auf V. Man zeige:
>  
> 1. Für jeden Endomorphismus f: V>V sind die Abbildungen V x
> V > K, (v,w) > b(v,f(w)) und V x V > K, (v,w) > b(f(v),w)
> Bilinearformen auf V.
>  
> 2. ZU jeder Bilinearform d auf V gibt es genau einen
> Endomorphismus f: V >V, so dass für alle v,w € V gilt
> d(v,w) = b(v,f(w)).
>  
> 3. ZU jedem Endomorphismus f: V > V gibt es genau einen
> Endomorphismus g : V > V, so dass für alle v,w € V gilt
> b(f(v),w) = b(v,g(w)).

Also 3. folgt direkt mit 1. und 2.: Nach 1. ist $d(v, w) := b(f(v), w)$ eine Bilinearform, und mit 2. folgt Existenz und Eindeutigkeit von g.

Zu 2.: Nehmen wir mal an, dass $V = [mm] K^n$ [/mm] ist. (Ansonsten muss man Basis waehlen etc.)
Wenn $A$ die Matrix ist, die $d$ darstellt, und $B$ die Matrix ist, die $b$ darstellt: also gilt $d(v, w) = [mm] v^T [/mm] A w$ und $b(v, w) = [mm] v^T [/mm] B w$. Insbesondere ist [mm] $d(e_i, e_j) [/mm] = [mm] a_{ij}$ [/mm] und [mm] $b(e_i, e_j) [/mm] = [mm] b_{ij}$, [/mm] wenn [mm] $e_1, \dots, e_n$ [/mm] die Standardeinheitsvektoren sind.

Sei $C$ die Matrix, die $f$ darstellt (die ist gesucht).

Nun ist [mm] $a_{ij} [/mm] = [mm] d(e_i, e_j) [/mm] = [mm] b(e_i, g(e_j)) [/mm] = [mm] e_i^T [/mm] B C [mm] e_j$, [/mm] also das Produkt aus $i$-ter Zeile von $B$ und der $j$-ten Spalte von $C$.

Du musst nun zeigen, dass aus diesen Gleichungen (fuer alle $i, j$) folgt, dass $C$ existiert und eindeutig bestimmt ist. Dazu wiederum musst du benutzen, dass $b$ nicht degeneriert ist. (Zeige damit, dass $B$ invertierbar ist, und benutze das passend Stelle.)

LG Felix


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Adjungierte Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Mi 25.04.2007
Autor: verkackt

Erstmal vielen vielen Dank.Ich war total verzweifelt.
Ich hab aber noch ne Frage:Mit deiner Hilfe hab ich gezeigt, dass B invertierbar ist ,und dass es gilt A= B*C
Aber wie kann ich damit die Existenz und Eindeutigkeit von C zeigen.
Und auch wenn, wie muss ich zeigen, dass aus der Eindeutigkeit von C die Eindeutigkeit von g folgt?Dass dies andersrum gilt ist mir schon klar

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Adjungierte Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:05 Mi 25.04.2007
Autor: schachuzipus

Hallo verkackt,

also, wenn gilt [mm] $A=B\cdot{}C$ [/mm] und $B$ invertierbar ist (siehe dazu übrigens Satz 2.4.1.2 im Skript) ;-), dann kannst du doch diesae Gleichung auf beiden Seiten von links mit [mm] $B^{-1}$ [/mm] multiplizieren.

Dann hast du [mm] $B^{-1}A=B^{-1}BC=C$ [/mm]

Somit hast du eine Definition für die Darstellungsmatrix von $f$ bzgl. der Standardbasis [mm] \mathcal{B}. [/mm]

Diese Definition ist wohldefiniert, wie du oben gezeigt hast, außerdem bestimmt die Darstellungsmatrix den Endo $f$ bzgl. der gewählten Basis eindeutig (und umgekehrt), also hast du die Existenz (und eigentlich auch schon die Eind.)  von $f$

Das kannste ja noch "schön" aufschreiben:

Sei [mm] $v\in [/mm] V$ mit Basis [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] wie oben, [mm] $v=\sum_ix_ie_i$ [/mm]

Dann [mm] $f:V\rightarrow [/mm] V: [mm] v\mapsto (B^{-1}A)x$ [/mm]  wobei $x$ der Koordinatenvektor von $v$ bzgl. [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] ist

Dann gilt: [mm] $d(v,w)=x^TAy=x^T(BC)y^T=x^TB(B^{-1}A)y^T=b(v,f(w))$ [/mm]

wobei $y$ der Koordinatenvektor von $w$ bzgl. [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] ist.

Die Eindeutigkeit kannst du leicht auch explizit zeigen,

Seien [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] Endos mit [mm] d(v,w)=b(v,f_1(w))=b(v,f_2(w)) [/mm]

[mm] $\Rightarrow b(v,f_1(w))-b(v,f_2(w))=0\Rightarrow b(v,f_1(w)-f_2(w))=0\Rightarrow b(v,(f_1-f_2)(w))=0$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow f_1-f_2=0$ [/mm] da b nicht ausgeartet ist

[mm] \Rightarrow f_1=f_2 [/mm]

Gruß

schachuzipus

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Adjungierte Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:18 Mi 25.04.2007
Autor: verkackt

Ich kann nur dazu sagen: danke danke danke.Hab endlich alle Zusammenhänge verstanden.

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Adjungierte Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:01 Do 26.04.2007
Autor: verkackt

Hallo Leute,
Erstmal vielen Dank für eure Antwort.Hab aber etwas noch nicht verstanden,und zwar: Warum kann man hier

> Nun ist [mm]a_{ij} = d(e_i, e_j) = b(e_i, g(e_j)) = e_i^T B C e_j[/mm],

einfach die Matrix C rausziehen?????
Gruß V.

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Adjungierte Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:26 Fr 27.04.2007
Autor: felixf

Hallo

>  Erstmal vielen Dank für eure Antwort.Hab aber etwas noch
> nicht verstanden,und zwar: Warum kann man hier
>
> > Nun ist [mm]a_{ij} = d(e_i, e_j) = b(e_i, g(e_j)) = e_i^T B C e_j[/mm],
> einfach die Matrix C rausziehen?????

Haengt davon ab was du darunter verstehst. Im Endeffekt ist es das schon, aber das geht nicht ganz so einfach.

Hinweis: Die Gleichung [mm] $a_{ij} [/mm] = [mm] e_i^T [/mm] A [mm] e_j$ [/mm] hilft dir vielleicht weiter; damit bekommst du naemlich $A = B C$ (weisst du warum?).

LG Felix


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Adjungierte Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 Fr 27.04.2007
Autor: verkackt

Hi Felix
> Hinweis: Die Gleichung [mm]a_{ij} = e_i^T A e_j[/mm] hilft dir
> vielleicht weiter; damit bekommst du naemlich [mm]A = B C[/mm]
> (weisst du warum?).

Dazu muss ich sagen,dass ich mit Hilfe von

> [mm]a_{ij} = d(e_i, e_j) = b(e_i, g(e_j)) = e_i^T B C e_j[/mm],

und d( [mm] e_{i},e_{j})=e_i^T [/mm] A [mm] e_j [/mm]
A=BC genommen habe, weiß aber nicht warum man  
[mm] b(e_i, g(e_j))=e_i^T [/mm] BC [mm] e_j [/mm] schreiben kann


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Adjungierte Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 Fr 27.04.2007
Autor: felixf

Hallo

>  > Hinweis: Die Gleichung [mm]a_{ij} = e_i^T A e_j[/mm] hilft dir

> > vielleicht weiter; damit bekommst du naemlich [mm]A = B C[/mm]
> > (weisst du warum?).
>  Dazu muss ich sagen,dass ich mit Hilfe von
>  > [mm]a_{ij} = d(e_i, e_j) = b(e_i, g(e_j)) = e_i^T B C e_j[/mm],

> und d( [mm]e_{i},e_{j})=e_i^T[/mm] A [mm]e_j[/mm]
>  A=BC genommen habe, weiß aber nicht warum man  
> [mm]b(e_i, g(e_j))=e_i^T[/mm] BC [mm]e_j[/mm] schreiben kann

Es ist [mm] $g(e_j) [/mm] = C [mm] e_j$ [/mm] per Definition von $C$ (bzw. so willst du $g$ durch $C$ definieren), und es ist $b(v, w) = [mm] v^T [/mm] B w$ per Definition von $B$.

LG Felix


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