Adjungierte bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 So 27.01.2008 | | Autor: | mathefux |
| Aufgabe | Bestimme zu A = [mm] (\vec{a},\vec{b},\vec{c} [/mm] die adjungierte Matrix und die Inverse.
[mm] \vec{a}=\pmat{ 9 \\ -2 \\ 7 }
[/mm]
[mm] \vec{b}=\pmat{ 1 \\ -2 \\ 2 }
[/mm]
[mm] \vec{c}=\pmat{ 3 \\ 1 \\ 2 } [/mm] |
Hallo, ich hab ein Problem bei der adjungierten. Ich soll aus einer Matrix die adjungierte bestimmen:
A= [mm] \pmat{ 9 & 1 & 3 \\ -2 & -2 & 1 \\ 7 & 2 & 2 }
[/mm]
mein Ergebnis:
-> in adj A= [mm] \vmat{ -6 & 11 & 10 \\ 4 & -3 & -11 \\ 7 & -15 & -16 }
[/mm]
Ist das so richtig? Ich bin immer Zeilenweise von links nach rechts gegangen und hab auch so die Zahlen aufgeschrieben in der adjA?
Zur Inversen:
Kann ich die Inverse so bestimmen? Oder gibt es da eine schnellere Methode:
[mm] A^{-1}=\bruch{1}{det(A)}*adj(A)
[/mm]
Determinante und die adjung. hab ich bestimmt
[mm] A^{-1}=\bruch{\vmat{ -6 & 11 & 10 \\ 4 & -3 & -11 \\ 7 & -15 & -16 }}{-13}
[/mm]
Wie rechne ich das nun aus das ich die Inverse bestimmen kann?
Mfg
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Hallo Mathefux,
zuerst ein mal ist hier Vorsicht geboten. Unter der Adjungierten kann man nämlich verschiedene Dinge verstehen, die adjungierte Matrix (die bei einer reellen Matrix nichts anderes ist als die transponierte) und die klassische Adjungierte (auch genannt adjunkte). Letztere hast du berechnet, darauf komme ich aber gleich nochmal zurück.
Nun kann ich dir natürlich nicht sagen welche der beiden du hier eigentlich berechnen sollst, falls es eine Hausaufgabe ist hilft aber im Zweifelsfall einfach beides abzugeben oder mal den Prof./zuständigen Assi zu fragen.
Zur genaueren Begrifflichkeit möchte ich dich hier nochmal kurz auf Wikipedia verweisen (auch wenn man das immer mit Vorsicht genießen sollte).
http://de.wikipedia.org/wiki/Adjungierte
http://de.wikipedia.org/wiki/Adjunkte
Die Berechnung der Einträge der Adjunkten scheint mir soweit richtig (ich hab nur 3 der Werte überprüft), allerdings müsstest du sie noch transponieren! Matrizen in Striche zu setzen finde ich persöhnlich übrigens immer eher unglücklich, weil diese einen Ausdruck für Determinante darstellen, das mag aber bei anderen Proffessoren anders gelehrt werden.
Was die Inverse angeht:
Die kannst du so bestimmen UND es gibt eine schnellere Methode =). Die von dir verwendete Methode nimmt man eigentlich hauptsächlich dann wenn man 2x2 Matrizen vorliegen hat, oder aber die Adjunkte ohnehin schon ausgerechnet hat.
Doch bevor ich zu dieser anderen Methode komme, erstmal zu deiner letzten Frage: Was du da für [mm] A^{-1} [/mm] stehen hast, ist einfach eine Skalar-Matrix-Multiplikation, dabei multiplizierst du den Skalar [mm] (\bruch{1}{13} [/mm] ) einfach "in die Matrix rein", also mit jedem Eintrag der Matrix.
Man kann die Inverse auch so bestimmen, das man die Matrix A neben eine Einheitsmatrix schreibt und dann A in die Form einer Einheitsmatrix bringt. Dabei führt man jeden Schritt den man in der Matrix A durchführt auch in der Einheitsmatrix durch. Also:
A|E
[mm] \pmat{ 9 & 1 & 3 \\ -2 & -2 & 1 \\ 7 & 2 & 2 }| \pmat{ 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1}
[/mm]
Eigentlich wollte ich das jetzt vorrechnen, allerdings habe ich mir gerade mal wieder eindrucksvoll selbst bewießen wie leicht es ist sich mit dem Gauß-Jordan Algorithmus zu verrechnen. Deshalb gebe ich dir nur dieses schöne Beispiel von Wikipedia zum selbernachrechnen an die Hand:
http://de.wikipedia.org/wiki/Inverse_Matrix
(unter Gauß-Jordan Algorithmus)
Falls du dazu dennoch noch Fragen hast, meld dich ruhig nochmal.
Hoffe geholfen zu haben,
Jörg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 So 27.01.2008 | | Autor: | mathefux |
Hi Jörg erstma ein dankeschön an dich das du mir hilfst.
In deiser Aufgabe wurde die klassiche Adjungierte(adjunkte) gesucht hab mir eben das Verfahren angesehn, genau das was auch in der Vorlesung dran kam.
Also wäre mein Ergebnis:
adjA= [mm] \pmat{ -6 & 4 & 7 \\ 11 & -3 & -15 \\ 10 & -11 & -16 }
[/mm]
zur Inversen, jetzt fällts mir auch ein das mans ja mit dem Einheitsvektor lösen kann.
Wenn ich den Skalar also [mm] \bruch{1}{13} [/mm] mit jedem Eintargh aus der Matrix multipliziere sieht es so aus:
[mm] A^{-1}= \pmat{ \bruch{-6}{13} & \bruch{4}{13} & \bruch{7}{13} \\ \bruch{11}{13} & \bruch{-3}{13} & \bruch{-15}{13} \\ \bruch{10}{13} & \bruch{11}{13} & \bruch{-16}{13}}
[/mm]
Könnte man nicht einfach das hier als Ergebnis sethen lassen anstatt der obeern Matrix die ganz schön krass aussieht? -> [mm] A^{-1}=\bruch{1}{13}*\pmat{ -6 & 4 & 7 \\ 11 & -3 & -15 \\ 10 & 11 & -16 }
[/mm]
Wobei ichs in diesem Fall damit nicht lösen kann :( habs merhmals versucht irgendwie klappts nicht vielleicht könntest du's nochmal versuchen
Würde gerne wissen ob da mit dem Gauß-Jordan Verfahren dasselbe rauskommt.
Mfg und vielen Dank nochma!!
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Hallo Mathefux,
kein Problem, ich helfe gerne (solange ich kann) =).
Das Ergebnis für deine klass. Adjungierte stimmt jetzt.
Bei der det (A) hast du dich irgendwie mit dem Vorzeichen vertan:
det (A) = 9 [mm] \vmat{ -2 & 1 \\ 2 & 2 } [/mm] - (-2) [mm] \vmat{ 1 & 3 \\ 2 & 2 } [/mm] + 7 [mm] \vmat{ 1 & 3 \\ -2 & 1 } [/mm] = 9 (-4-2) + 2 (2-6) + 7 (1+6) = -13
Deine Inverse hat noch 2 Fehler. Einerseits das Vorzeichen das wegen der determinante falsch ist, andererseits ist der 3te Eintrag der 2ten Spalte (bei rausgezogenem [mm] (-\bruch{1}{13}) [/mm] -11 und nicht 11, das ist aber sicher nur ein Tippfehler, da du es ja oben bei der Adjunkten noch richtig dastehen hast.
Ich bin mir übrigens relativ sicher, das die Aufgabe ebenso korrekt ist, wenn du den Skalar vor der Matrix stehen lässt, man muss den Schreibaufwand ja nicht noch künstlich vergrößern.
Nun aber nochmal zum Gauß-Jordan-Verfahren (Versuch 2 ;) ):
(du wirst entschuldigen das ich die Bruchschreibweise hier einfach mit / abkürze um mir das getippe zu sparen)
Start:
A|E
[mm] \pmat{9&1&3\\-2&-2&1\\7&2&2}|\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}
[/mm]
1) Alle Einträge der ersten Spalte auf 1 bringen
[mm] \pmat{1&1/9&1/3\\1&1&-1/2\\1&2/7&2/7}|\pmat{1/9&0&0\\0&-1/2&0\\0&0&1/7}
[/mm]
2) Dann alle Einträge der ersten Spalte außer Eintrag 1 eliminieren
[mm] \pmat{1&1/9&1/3\\0&8/9&-5/6\\0&11/63&-1/21}|\pmat{1/9&0&0\\-1/9&-1/2&0\\-1/9&0&1/7}
[/mm]
3) Jetzt die Einträge 2&3 der 2ten Spalte auf 1 bringen
[mm] \pmat{1&1/9&1/3\\0&1&-15/16\\0&1&-3/11}|\pmat{1/9&0&0\\-1/8&-9/16&0\\-7/11&0&9/11}
[/mm]
4) Und den dritten Eintrag der zweiten Spalte eliminieren.
[mm] \pmat{1&1/9&1/3\\0&1&-15/16\\0&0&117/176}|\pmat{1/9&0&0\\-1/8&-9/16&0\\-45/88&9/16&9/11}
[/mm]
5) Den dritten Eintrag der der dritten Spalte auf 1 bringen
[mm] \pmat{1&1/9&1/3\\0&1&-15/16\\0&0&1}|\pmat{1/9&0&0\\-1/8&-9/16&\\-10/13&11/13&16/13}
[/mm]
Das ist im übrigen der Punkt an dem man sich erstmal freuen darf das die letzte Zeile der Inversen Matrix (Gauß Verfahren) mit der letzten Zeile der Inversen Matrix (Determinante-Adjunkte) übereinstimmt. Ab hier wird nähmlich nunmehr der Gauß-Algorithmus "von unten nach oben" eingesetzt.
Also weiter:
6) Den ersten und zweiten Eintrag der 3ten Spalte auf 0 bringen.
[mm] \pmat{1&1/9&0\\0&1&0\\0&0&1}|\pmat{43/117&-11/39&-16/39\\-11/13&3713&15/13\\-10/13&11/13&16/13}
[/mm]
7) And once more with feeling: Eliminierung des ersten Eintrag der 2ten Spalte.
[mm] \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}|\pmat{6/13&-4/13&-7/13\\-11/13&3/13&15/13\\-10/13&11/13&16/13}
[/mm]
8) é voilà
[mm] E|A^{-1}
[/mm]
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{13}\pmat{-6&4&7\\11&-3&-15\\10&-11&-16}
[/mm]
Da ist auch wieder unser Minus!
Also: Es funktionieren immer (naja, solange det =/= 0 jedenfalls) beide Methoden, welche man letztlich verwendet ist eigentlich Sache der Matrix und des pesönlichen Geschmacks. Ich verwende immer gerne den Gauß-Algorithmus, man muss sich aber eingestehen, dass er sehr Rechenfehleranfällig ist.
Ich hoffe das hilft dir weiter und geh jetzt meine wundgetippten Finger schonen ;).
Viele Grüße,
Jörg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Mo 28.01.2008 | | Autor: | mathefux |
Wow! Du hast dir da wirklich sehr viel Mühe gegeben mir alles haar genau zu erklären, vielen DANK!!
Hab alles verstanden, jetzt weiß ich was ich beim Gauß-Jordan Verfahren falsch gemacht habe. Nochmals ein dickes dankeschön :)
Jetzt kannst du deine Finger ruhig schonen :D
Mfg
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