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| Aufgabe | Es sei
[mm] $D(T):=\{u\in L^2(0,1)| \text{u absolutstetig und }u'\in L^2(0,1)\}$
[/mm]
der Definitionsbereich des Operators
[mm] $T:L^2(0,1)\supset D(T)\to L^2(0,1), [/mm] \ Tu:=u'$.
Dann gilt [mm] $D(T^{\*})=\{0\}$. [/mm] |
Trivial ist, dass [mm] $0\in D(T^{\*})$. [/mm] aber wie zeige ich die umgekehrte Richtung? Ich habe so angenfangen: Sei [mm] $v\in D(T^{\*})$; [/mm] dann gilt
[mm] $(Tu,v)=\int^1_0 u'(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]^1_0-\int^1_0u(x)v'(x)$.
[/mm]
Das soll ja gleich $(u,Tv)$ sein. Kann man nun folgern, dass das nur für $v=0$ geht? Ich bin mir da unsicher!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Mi 29.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich habe einige zweifel, ob Du die Aufgabe korrekt widergegeben hast.
Zu dieser Aufgabe schau mal in folgende Bücher:
S. Goldberg: Unbounded linear operators, sec. II.2 und Chap. VI
T. Kato. Perturbation theory of linear operators, Sec. III.5
FRED
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Danke Fred!
Du hast Recht, die Aufgabe war falsch gestellt vom Übungsleiter. Vielen Dank auch für die Literaturtipps.
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