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Aequivalenzrelation: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:18 Sa 13.05.2006
Autor: Janyary

Aufgabe
Sei E ein Vektorraum ueber K, M die Menge der Normen auf E. Zeigen Sie:
a) Die zweistellige Relation "Aquivalenz von Normen" ist eine Aequivalenzrelation auf M

b) Die Systeme der offenen Mengen bezueglich aequivalenter Normen stimmen ueberein.

so da bin ich nochmal.

zu a)

ich hab mir gedacht ich nehm mir 2 beliebige Normen und weise dann reflexivitaet, symmetrie und transitivitaet nach.
zwei normen sind ja genau dann aequivalent, wenn fuer alle [mm] (x_{n}) \in [/mm] E und fuer alle x [mm] \in [/mm] E gilt: [mm] x_{n}\to [/mm] x [mm] (bzgl.||*||_{1}) \gdw x_{n}\to [/mm] x [mm] (bzgl.||*||_{2}) [/mm]

also, sei [mm] ||x||_{1}, ||x||_{2} \in [/mm] M, wobei [mm] ||x||_{1}\not=||x||_{2}, [/mm] aber  [mm] ||x||_{1} \sim||x||_{2} [/mm]

reflexiv:

zu zeigen: [mm] ||x||_{1} \sim ||x||_{1} [/mm]
gilt, wegen:

[mm] x_{n}\to [/mm] x [mm] (bzgl.||*||_{1}) \gdw x_{n}\to [/mm] x [mm] (bzgl.||*||_{1}) [/mm]

symmetrie:

zu zeigen: [mm] ||x||_{1} \sim ||x||_{2} \Rightarrow ||x||_{2} \sim ||x||_{1} [/mm]

[mm] ||x||_{1} \sim ||x||_{2}\Rightarrow x_{n}\to [/mm] x [mm] (bzgl.||*||_{1}) \gdw x_{n}\to [/mm] x [mm] (bzgl.||*||_{2}) \Rightarrow x_{n}\to [/mm] x [mm] (bzgl.||*||_{2}) \gdw x_{n}\to [/mm] x [mm] (bzgl.||*||_{1}) \Rightarrow ||x||_{2} \sim ||x||_{1} [/mm]

transitiv:

zu zeigen: [mm] ||x||_{1} \sim ||x||_{2} \wedge ||x||_{2} \sim ||x||_{3}\Rightarrow ||x||_{1} \sim ||x||_{3} [/mm]

[mm] ||x||_{1} \sim ||x||_{2} \Rightarrow x_{n}\to [/mm] x [mm] (bzgl.||*||_{1}) \gdw x_{n}\to [/mm] x [mm] (bzgl.||*||_{2}) [/mm]
[mm] ||x||_{2} \sim ||x||_{3}\Rightarrow x_{n}\to [/mm] x [mm] (bzgl.||*||_{2}) \gdw x_{n}\to [/mm] x [mm] (bzgl.||*||_{3}) [/mm]

d.h.  [mm] \Rightarrow x_{n}\to [/mm] x [mm] (bzgl.||*||_{1}) \gdw x_{n}\to [/mm] x [mm] (bzgl.||*||_{2})\gdw x_{n}\to [/mm] x [mm] (bzgl.||*||_{3}) \Rightarrow x_{n}\to [/mm] x [mm] (bzgl.||*||_{1})\gdw x_{n}\to [/mm] x [mm] (bzgl.||*||_{3}) [/mm]
daraus folgt: [mm] ||x||_{1} \sim ||x||_{3} [/mm]

falls das alles stimmt, haette ich ja zumindest die a) damit bewiesen. Leider weiss ich nicht ob das alles so schluessig ist, waere echt toll, wenn da mal jemand drueber schaun koennte.

zu b)
damit kann ich an sich ueberhaupt nix anfangen. hat da vielleicht jemand nen tipp??

LG Jany :)

        
Bezug
Aequivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:35 Sa 13.05.2006
Autor: martzo

Hi Jany,

>  
> ich hab mir gedacht ich nehm mir 2 beliebige Normen und
> weise dann reflexivitaet, symmetrie und transitivitaet
> nach.

Korrekt.

>  zwei normen sind ja genau dann aequivalent, wenn fuer alle
> [mm](x_{n}) \in[/mm] E und fuer alle x [mm]\in[/mm] E gilt: [mm]x_{n}\to[/mm] x
> [mm](bzgl.||*||_{1}) \gdw x_{n}\to[/mm] x [mm](bzgl.||*||_{2})[/mm]
>  
> also, sei [mm]||x||_{1}, ||x||_{2} \in[/mm] M, wobei
> [mm]||x||_{1}\not=||x||_{2},[/mm] aber  [mm]||x||_{1} \sim||x||_{2}[/mm]
>  
> reflexiv:
>  
> zu zeigen: [mm]||x||_{1} \sim ||x||_{1}[/mm]
>  gilt, wegen:
>  
> [mm]x_{n}\to[/mm] x [mm](bzgl.||*||_{1}) \gdw x_{n}\to[/mm] x
> [mm](bzgl.||*||_{1})[/mm]
>  
> symmetrie:
>  
> zu zeigen: [mm]||x||_{1} \sim ||x||_{2} \Rightarrow ||x||_{2} \sim ||x||_{1}[/mm]
>  
> [mm]||x||_{1} \sim ||x||_{2}\Rightarrow x_{n}\to[/mm] x
> [mm](bzgl.||*||_{1}) \gdw x_{n}\to[/mm] x [mm](bzgl.||*||_{2}) \Rightarrow x_{n}\to[/mm]
> x [mm](bzgl.||*||_{2}) \gdw x_{n}\to[/mm] x [mm](bzgl.||*||_{1}) \Rightarrow ||x||_{2} \sim ||x||_{1}[/mm]
>  
> transitiv:
>  
> zu zeigen: [mm]||x||_{1} \sim ||x||_{2} \wedge ||x||_{2} \sim ||x||_{3}\Rightarrow ||x||_{1} \sim ||x||_{3}[/mm]
>  
> [mm]||x||_{1} \sim ||x||_{2} \Rightarrow x_{n}\to[/mm] x
> [mm](bzgl.||*||_{1}) \gdw x_{n}\to[/mm] x [mm](bzgl.||*||_{2})[/mm]
>  [mm]||x||_{2} \sim ||x||_{3}\Rightarrow x_{n}\to[/mm] x
> [mm](bzgl.||*||_{2}) \gdw x_{n}\to[/mm] x [mm](bzgl.||*||_{3})[/mm]
>  
> d.h.  [mm]\Rightarrow x_{n}\to[/mm] x [mm](bzgl.||*||_{1}) \gdw x_{n}\to[/mm]
> x [mm](bzgl.||*||_{2})\gdw x_{n}\to[/mm] x [mm](bzgl.||*||_{3}) \Rightarrow x_{n}\to[/mm]
> x [mm](bzgl.||*||_{1})\gdw x_{n}\to[/mm] x [mm](bzgl.||*||_{3})[/mm]
> daraus folgt: [mm]||x||_{1} \sim ||x||_{3}[/mm]
>  
> falls das alles stimmt, haette ich ja zumindest die a)
> damit bewiesen. Leider weiss ich nicht ob das alles so
> schluessig ist, waere echt toll, wenn da mal jemand drueber
> schaun koennte.

Das ist so in Ordnung. (Auch wenn man es sicher einfacher aufschreiben könnte :)  

>  
> zu b)
> damit kann ich an sich ueberhaupt nix anfangen. hat da
> vielleicht jemand nen tipp??

Zum Verständnis: Mit einer Norm erzeugt man auf einem Vektorraum eine Topologie, indem man gerade die beliebigen Vereinigungen und endlichen Schnitte von Kugeln (bezüglich der Norm) als offene Mengen auszeichnet. Aus der Topologie ergibt sich dann erst der Begriff der Umgebung und schließlich der der Konvergenz. - Jetzt sagt doch deine Definition der Normäquivalenz gerade aus, dass äquivalente Normen den gleichen Konvergenzbegriff erzeugen. Da der Konvergenzbegriff aber gerade von der Topologie abhängt, können äquivalente Normen ja wohl schlecht unterschiedliche Topologien erzeugen.

Praktisch würde ich das so machen: Es reicht ja zu zeigen, dass zwei äquivalente Normen die gleichen abgeschlossenen Mengen erzeugen (da die offenen Mengen ja gerade die Komplemente der abgeschlossenen sind, erzeugen die Normen dann auch die gleichen offenen Mengen). Abgeschlossen ist eine Teilmenge eines normierten Raumes aber gerade dann, wenn sie mit jeder konvergenten Folge auch deren Grenzwert enthält. Wenn du dir jetzt deine Definition der Normäquivalenz anschaust, müsste der Groschen fallen.

Beste Grüße,

Martzo  


Bezug
                
Bezug
Aequivalenzrelation: so richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:33 So 14.05.2006
Autor: Janyary

hi martzo,

vielen dank fuer deine antwort, ich hab mich mal an dem beweis versucht.
vielleicht hast du ja ein wenig zeit mal drueber zu schaun, ob das so geht. :)
ich hab mich dabei an dein bsp. mit der abgeschlossenen menge gehalten.

Sei M eine abgeschlossene Menge, [mm] ||x||_{1}, ||x||_{2} [/mm] beliebige Normen, wobei gilt [mm] ||x||_{1}\not=||x||_{2} [/mm] aber [mm] ||x||_{1}\sim||x||_{2} [/mm]

M abgeschlossen bedeutet, fuer jede folge [mm] (x_{n})\in [/mm] M mit [mm] x_{n}\to x\* [/mm] gilt [mm] x\* \in [/mm] M.

Sei [mm] x:=x_{n} [/mm] eine solche folge
dann gilt: [mm] x_{n}\to x\* [/mm] (bzgl [mm] ||x||_{1}), [/mm] da [mm] ||x||_{1}\sim||x||_{2} [/mm] folgt [mm] x_{n}\to x\* [/mm] (bzgl. [mm] ||x||_{2}). [/mm] dies wiederrum bedeutet [mm] ||x||_{2} \in [/mm] M.

da abgeschlossene Mengen das komplement zu offenen Mengen sind, ist damit bewiesen, dass das System offener Mengen bzgl. aequivalenter Normen uebereinstimmt.

dann hab ich nochmal eine andere frage, was genau bedeutet topologie. ich hab zwar bei wikipedia geschaut aber bei der erklaerung nicht wirklich durchgesehen.

vielen dank schon im vorraus.
LG Jany :)



Bezug
                        
Bezug
Aequivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:27 So 14.05.2006
Autor: martzo


> Sei M eine abgeschlossene Menge, [mm]||x||_{1}, ||x||_{2}[/mm]
> beliebige Normen, wobei gilt [mm]||x||_{1}\not=||x||_{2}[/mm] aber
> [mm]||x||_{1}\sim||x||_{2}[/mm]

Zunächst einmal ist deine Schreibweise ein bisschen verwirrend, weil [mm]||x||_{i}[/mm] für ein [mm]x\in E[/mm] reelle Zahlen sind und keine Normen. Wenn du die Normen selbst und nicht den Wert der Normen in einem Punkt meinst, solltest du lieber [mm]||\cdot||_{1}, ||\cdot||_{2}[/mm] schreiben.

Inhaltlich ist das auch nicht korrekt gedacht. Denn jede Norm erzeugt ja erst ihre Topologie (s.u.). Wenn du sagst, [mm]M[/mm] sei abgeschlossen, dann stellt sich in diesem Zusammenhang ja die Frage: Bezüglich welcher Norm denn?

Was du zeigen musst, ist ja vielmehr folgendes: Wenn die Teilmenge [mm]M\subseteq E[/mm] bezüglich einer Norm auf [mm]E[/mm] abgeschlossen ist, so ist sie auch bezüglich jeder äquivalenten Norm abgeschlossen. (Und umgekehrt, aber das ist dann klar, weil die Normen ja beliebig gewählt werden können.)

Der Anfang deines Beweise laute also besser so:

Sei [mm]M[/mm] eine abgeschlossene Teilmenge des normierten Vektorraums [mm](E,||\cdot||_{1})[/mm], und seien [mm]||\cdot||_{1}, ||\cdot||_{2}[/mm] äquivalente Normen auf [mm]E[/mm].

Jetzt solltest du es eigentlich selbst zu Ende bringen können.  

>  
> dann hab ich nochmal eine andere frage, was genau bedeutet
> topologie. ich hab zwar bei wikipedia geschaut aber bei der
> erklaerung nicht wirklich durchgesehen.



Also, Topologie hat zwei Bedeutungen:

1. "Topologie" ist die mathematische Teildisziplin der topologischen Räume (s.u.).

2. Eine "Topologie" für eine Menge M ist ein System von Teilmengen von M (anders gesagt: eine Teilmenge der Potenzmenge von M) - den so genannten "offenen" Mengen von M - das die folgenden Axiome erfüllt:

(1) Die leere Menge und M selbst sind jeweils offen.
(2) Der Schnitt zweier (!) offener Mengen ist wieder offen.
(3) Die Vereinigung beliebig vieler (!) offener Mengen ist wieder offen.

Die Komplemente der offenen Mengen heißen "abgeschlossen". Eine Menge M zusammen mit einer Topologie [mm]\mathcal{O}[/mm] heißt "topologischer Raum".

Beispiel: Auf jedem normierten Raum erzeugt die Norm standardmäßig eine Toplogie: Man zeichne zunächst alle Kugeln [mm]B_{x,r}:=\{y\in M:||x-y||
Eine Topologie erzeugt auf einem Raum erst die klassischen Begriffe der Analysis: Stetigkeit (Eine Funktion heißt stetig, wenn die Urbilder offener Mengen offen sind.) und Konvergenz [mm] (x_n [/mm] konvergiert gegen x, wenn jede beliebige offene Umgebung von x ab einem bestimmten Index n alle weiteren Folgeglieder enthält, etc.). Diese Begriffe sind also im Grunde variabel und hängen von der gewählten Topologie hab. - Die euklidische Norm auf reellen Vektorräumen erzeugt natürlich jeweils eine Topologie, die Stetigkeits- und Konvergenzbegriffe so induzieren, wie wir sie gewohnt sind.

So, ich hoffe, das war verständlich. Eine lesbare Einführung ist "Jänich: Topologie".

Besten Gruß,

Martzo





Bezug
                                
Bezug
Aequivalenzrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 So 14.05.2006
Autor: Janyary

ok, hab deinen anfang einfach mal so uebernommen..

> Sei [mm]M[/mm] eine abgeschlossene Teilmenge des normierten
> Vektorraums [mm](E,||\cdot||_{1})[/mm], und seien [mm]||\cdot||_{1}, ||\cdot||_{2}[/mm]
> äquivalente Normen auf [mm]E[/mm].

d.h. Es existiert [mm] (x_{n})\in [/mm] M, so dass [mm] x_{n}\to [/mm] x, so dass [mm] x\in [/mm] M.
o.B.d.A. sei [mm] x_{n}\to [/mm] x (bzgl [mm] ||\cdot||_{1}), [/mm] da [mm] ||\cdot||_{1}\sim||\cdot||_{1} [/mm] gilt :  [mm] x_{n}\to [/mm] x (bzgl [mm] ||\cdot||_{2}) [/mm]
und daraus folgt M ist fuer alle aequivalenten Normen abgeschlossen. und als komplement stimmen alle offenen mengen bzgl. aequivalenter Normen ueberein.

Passt das jetzt?
danke schoen fuer deine geduld, aber in der hinsicht bin ich wohl ein schwerer fall..

LG Jany

Bezug
                                        
Bezug
Aequivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:55 So 14.05.2006
Autor: martzo


> d.h. Es existiert [mm](x_{n})\in[/mm] M, so dass [mm]x_{n}\to[/mm] x, so dass
> [mm]x\in[/mm] M.

Nein, ob eine konvergente Folge überhaupt EXISTIERT, ist gar nicht gesagt. Darauf kommt es auch gar nicht an. Die Abgeschlossenheit von M bedeutet nur, dass, WENN eine Folge von Elementen aus M konvergiert, ihr Grenzwert in M liegt.

Der Rest deines Beweises ist mehr oder weniger ok. Ich hab da ein paar Sachen verbessert. Du kannst ja vergleichen:

Sei [mm]x_{n}\rightarrow x[/mm]  bzgl. [mm]||\cdot||_{1}[/mm]. Da [mm]||\cdot||_{1}\sim||\cdot||_{2}[/mm], gilt :  [mm]x_{n}\rightarrow x[/mm] bzgl. [mm]||\cdot||_{2}[/mm]. Daraus folgt, dass M abgeschlossen ist bezügl. [mm] ||\cdot||_{2}. [/mm]

Demnach sind alle bezüglich [mm]||\cdot||_{1}[/mm] abgeschlossenen Mengen auch abgeschlossen bezüglich [mm]||\cdot||_{2}[/mm]. Umgekehrt gilt das gleiche, wie man auf analogem Wege zeigt. Also erzeugen die beiden Normen die gleiche Topologie.

Beste Grüße,

Martzo

Bezug
        
Bezug
Aequivalenzrelation: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mi 17.05.2006
Autor: matux

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