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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:24 Mo 05.01.2009 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | Folgende Unterpunkte sind zu zeigen:
a) Die Hintereinaderausführung von affinen Abbildungen ist wieder affin.
b) Affine Abbildungen sind parallelenreu, d.h. ist [mm] A_1 [/mm] || [mm] A_2 [/mm] => [mm] \alpha( A_1 [/mm] ) || [mm] \alpha( A_2 [/mm] )
c) Die inverse Abbildung einer bijektiven affinen Abbildung [mm] \alpha [/mm] : A -> A ist wieder affin. Wie sieht ihre Darstellung aus?
d) Bei der Abbildung eines Parallelogramms durch die Affinität [mm] \alpha( \vec{x} [/mm] ) = [mm] C\vec{x} [/mm] + [mm] \vec{c} [/mm] wird sein Flächeninhalt mit der Determinante |C| multipliziert. |
Hallo!
Ich stehe leider Gottes wieder etwas auf der Leitung.
ad a)
Ich habe den Tipp erhalten, dass ich mit der folgenden Darstellung arbeiten soll [mm] \alpha(x) [/mm] = [mm] \overline{\alpha} [/mm] (x - p) + [mm] \alpha(x)
[/mm]
[mm] \alpha(x) [/mm] ist ja die Punktabbildung
[mm] \overline{\alpha} [/mm] () ist die Vektorabbildung
Eine affine Abbildung [mm] \alpha: [/mm] A -> B heißt affin, wenn die durch [mm] \alpha [/mm] induzierte Abbildung [mm] (\overline{\alpha}) [/mm] der Differenzräume eine lineare Abbildung ist.
Also mit der angebenene Darstellung sehen die zwei Abbildungen folgend aus:
[Def. 1]
[mm] \alpha(x) [/mm] = [mm] \overline{\alpha} [/mm] (x - p) + [mm] \alpha(p)
[/mm]
[mm] \beta(x) [/mm] = [mm] \overline{\beta} [/mm] (x - q) + [mm] \beta(q)
[/mm]
nun werden die beiden Abbildungen hintereinander ausgeführt
=> [mm] (\alpha \circ\ \beta)(x) [/mm] [Def. Hintereinanderausführung von Funktionen]
= [mm] \alpha(\beta(x)) [/mm] [Def. 1]
= [mm] \alpha(\overline{\beta} [/mm] (x - q) + [mm] \beta(q)) [/mm] [Def. 1]
= [mm] \overline{\alpha} (\overline{\beta} [/mm] (x - q) + [mm] \beta(q) [/mm] + [mm] \alpha(p)) [/mm] + [mm] \alpha(p)
[/mm]
?? hier stehe ich an...
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ad b)
Jede affine abbildung hat folgende form:
[mm] f(\vec{t}) [/mm] = [mm] A\overline{x} [/mm] + [mm] \vec{t}
[/mm]
Betrachte nu 2 parallele Gerade, d.h. Geraden mit gleichem Richtungsvektor [mm] \vec{u}
[/mm]
g = [mm] \{\lambda \vec{u} + \vec{v} : \lambda \in \IR \}
[/mm]
h = [mm] \{\lambda \vec{u} + \vec{w} : \lambda \in \IR \}
[/mm]
Nun berechne Bilder von g und h
[mm] f(\lambda \vec{u} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] ) = A( [mm] \lambda \vec{u} [/mm] + [mm] \vec{v} [/mm] ) + [mm] \vec{t} [/mm] = [mm] A\lambda \vec{u}+ A\vec{v} [/mm] + [mm] \vec{t}
[/mm]
= [mm] A\lambda \vec{u} [/mm] + [mm] (A\vec{v} [/mm] + [mm] \vec{t} [/mm] )
[mm] f(\lambda \vec{u} [/mm] + [mm] \vec{w} [/mm] ) = [mm] A\lambda \vec{u} [/mm] + [mm] (A\vec{w} [/mm] + [mm] \vec{t} [/mm] )
=> beide Bildgeraden haben also den gleichen Richtungsvektor [mm] A\vec{u} [/mm] => sie sind somit parallel
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ad c)
[mm] \alpha: [/mm] A -> A
Beweis:
Ist [mm] \alpha [/mm] invertierbar und y = [mm] \alpha(x) [/mm] + v
=>
x = [mm] \alpha^{-1} [/mm] (y - v) [Wegen Linearität]
= [mm] \alpha^{-1} [/mm] (y) - [mm] \alpha^{-1} [/mm] (v) = [mm] (T_(\alpha^{-1} [/mm] (v)) [mm] \circ\ \alpha^{-1} [/mm] ) (y)
=> also ist die inverse Abbildung affin
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ad d)
bitte um hilfe
vielen dank für jede hilfe!
lg
Crosspost hier: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=115292
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 08.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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