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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:44 Di 16.11.2010 | | Autor: | LittleGauss |
| Aufgabe | Man betrachte die affine Abbildung [mm] \Psi_{w,F}:\IR^3 \to \IR^3
[/mm]
mit [mm] w=\vektor{2\\4\\10} [/mm] und [mm] F=F_A [/mm] die zu der Matrix A gehörige lineare Abbildung, wobei [mm] A=\bruch{1}{15}\pmat{14&-2&-5\\-2&11&-10\\-5&-10&-10}.
[/mm]
a) Bestimme die Menge aller Fixpunkte von [mm] \Psi_{w,F}.
[/mm]
b) Beschreibe die Abbildung [mm] \Psi_{w,F} [/mm] geometrisch. |
Hallo!
Ich weiß leider gar nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
Also ein Fixpunkt x [mm] \in \IR^3 [/mm] müsste ja die Bedingung:
[mm] \Psi_{w,F}(x)=x [/mm] erfüllen.
Jetzt könnte ich wie ein Idiot rumprobieren und einige Fixpunkte bestimmen.
Aber das ist sicher nicht Zweck dieser Aufgabe.
Wie bestimme ich denn allgemein die Menge aller Fixpunkte?
Würde mich über jede Hilfe sehr freuen. Danke! 
Die Abbildung hat ja die Form: [mm] \Psi_{w,F}(x)=w+Ax
[/mm]
Also für Fixpunkte muss dann gelten:
[mm] w+Ax=x\gdw x-Ax=w\gdw (E_3-A)x=w
[/mm]
Dabei [mm] E_3=\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1} [/mm] die 3-dim. Einheitsmatrix.
Ist mein Ansatz soweit richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Di 16.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Man betrachte die affine Abbildung [mm]\Psi_{w,F}:\IR^3 \to \IR^3[/mm]
>
> mit [mm]w=\vektor{2\\4\\10}[/mm] und [mm]F=F_A[/mm] die zu der Matrix A
> gehörige lineare Abbildung, wobei
> [mm]A=\bruch{1}{15}\pmat{14&-2&-5\\-2&11&-10\\-5&-10&-10}.[/mm]
>
> a) Bestimme die Menge aller Fixpunkte von [mm]\Psi_{w,F}.[/mm]
>
> b) Beschreibe die Abbildung [mm]\Psi_{w,F}[/mm] geometrisch.
>
>
> Hallo!
>
> Ich weiß leider gar nicht wie ich an diese Aufgabe
> rangehen soll.
>
> Also ein Fixpunkt x [mm]\in \IR^3[/mm] müsste ja die Bedingung:
> [mm]\Psi_{w,F}(x)=x[/mm] erfüllen.
>
> Jetzt könnte ich wie ein Idiot rumprobieren und einige
> Fixpunkte bestimmen.
> Aber das ist sicher nicht Zweck dieser Aufgabe.
> Wie bestimme ich denn allgemein die Menge aller Fixpunkte?
>
> Würde mich über jede Hilfe sehr freuen. Danke!
>
> Die Abbildung hat ja die Form: [mm]\Psi_{w,F}(x)=w+Ax[/mm]
> Also für Fixpunkte muss dann gelten:
>
> [mm]w+Ax=x\gdw x-Ax=w\gdw (E_3-A)x=w[/mm]
>
> Dabei [mm]E_3=\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}[/mm] die 3-dim.
> Einheitsmatrix.
>
> Ist mein Ansatz soweit richtig?
Ja, Du mußt ein einfaches LGS lösen
FRED
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Okay. Das habe ich jetzt gemacht und erhalte als Lösung:
[mm] x=\vektor{30-5t\\ 0 \\ t} [/mm] , wobei [mm] t\in\IR [/mm] ein frei gewählter Parameter ist.
Sind dann alle Fixpunkte von der Form wie x ?
Wie kann ich das x geschickt umschreiben?
Oder anders gefragt: Wie würde ich die Menge aller Fixpunkte elegant darstellen ohne dieses t ??
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Ich glaube ich kann das nur als Fixpunktgerade schreiben oder?
Also wie folgt:
[mm] \vektor{30\\0\\0}+t\vektor{-5\\0\\1} [/mm] , [mm] t\in\IR
[/mm]
Und die Menge aller Fixpunkte sind gerade die Punkte, die auf dieser Geraden liegen richtig?
Falls das soweit in Ordnung ist würde ich gerne zum Teil b) kommen.
Ich habe leider überhaupt keinen Plan wie ich mir diese Abbildung [mm] \Psi [/mm] geometrisch veranschaulichen kann...??
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Kann mir wirklich keiner helfen?
Also ich bin ja soweit gekommen, dass die Menge aller Fixpunkte von der affinen Abbildung [mm] \Psi_{w,F} [/mm] eine Gerade ergeben.
Wie kann man denn nun [mm] \Psi_{w,F} [/mm] geometrisch beschreiben?
Was macht diese Abbildung geometrisch?
Habe mit ein paar Vektoren rumgerechnet, aber leider nichts feststellen können.
Würde mich über jede Hilfe sehr freuen, da ich ein wenig Probleme in der Affinen Geometrie habe.
Danke
P.S.: Mir ist soeben aufgefallen, dass die Matrix A symmetrisch ist und ihre Spalten zueinander orthogonal sind.
Kann man da irgendwelche Aussagen über die affine Abbildung [mm] \Psi [/mm] machen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 19.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 18.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 18.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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