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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:37 So 20.11.2011 | | Autor: | phychem |
Hallo
Es sei A ein affiner Raum über dem n-dimensionalen K-Vektorraum V. Eine affine Basis von A ist nun ja eine Menge aus n+1 Punkten [mm] P_{0},...,P_{n}, [/mm] so dass die Verbindungsvektoren [mm] \overrightarrow{P_{0}P_{1}},...,\overrightarrow{P_{0}P_{n}} [/mm] gerade eine Basis von V bilden.
Sollte nun A ein affiner Unterraum von V sein, kann man ja beweisen, dass anstelle von [mm] P_{0} [/mm] auch jeder andere Punkt [mm] P_{i} [/mm] als "Bezugspunkt" gewählt werden kann - die entsprechenden Verbindungsvektoren bilden nach wie vor eine Basis von V.
Ich habe mich nun schon oft gefragt, ob dies auch im allgemeinen Fall gilt. Und falls ja: Wie kann man es beweisen? Leider hab ich bis jetzt keinen sinnvollen Ansatz finden können. Alle Bemühungen, einen solchen Beweis zu finden, haben sich bisher als vergeblich erwiesen. Deshalb frag ich einfach mal hier:
Ist ein solcher Beweis überhaupt möglich? Ist der "Bezugspunkt" im allgemeinen Fall entscheidend für die Definition der affinen Basis?
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> Hallo
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> Es sei A ein affiner Raum über dem n-dimensionalen
> K-Vektorraum V. Eine affine Basis von A ist nun ja eine
> Menge aus n+1 Punkten [mm]P_{0},...,P_{n},[/mm] so dass die
> Verbindungsvektoren
> [mm]\overrightarrow{P_{0}P_{1}},...,\overrightarrow{P_{0}P_{n}}[/mm]
> gerade eine Basis von V bilden.
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> Sollte nun A ein affiner Unterraum von V sein, kann man ja
> beweisen, dass anstelle von [mm]P_{0}[/mm] auch jeder andere Punkt
> [mm]P_{i}[/mm] als "Bezugspunkt" gewählt werden kann - die
> entsprechenden Verbindungsvektoren bilden nach wie vor eine
> Basis von V.
>
> Ich habe mich nun schon oft gefragt, ob dies auch im
> allgemeinen Fall gilt.
Hallo,
was meinst Du mit "allgemeinem Fall"?
Gruß v. Angela
> Und falls ja: Wie kann man es
> beweisen? Leider hab ich bis jetzt keinen sinnvollen Ansatz
> finden können. Alle Bemühungen, einen solchen Beweis zu
> finden, haben sich bisher als vergeblich erwiesen. Deshalb
> frag ich einfach mal hier:
> Ist ein solcher Beweis überhaupt möglich? Ist der
> "Bezugspunkt" im allgemeinen Fall entscheidend für die
> Definition der affinen Basis?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:26 So 20.11.2011 | | Autor: | phychem |
Na wenn [mm]A[/mm] keine Teilmenge von [mm]V[/mm] ist. [mm]A[/mm] ist eine beliebige Menge von Punkten, [mm]V[/mm] ein Vektorraum über [mm]K[/mm] und für die Abbildung
[mm]A \times V \to A[/mm] , [mm](P,v) \mapsto P+v[/mm]
gelten
i) [mm]P+0 = P[/mm] , [mm]P \in A[/mm]
ii) [mm]P+(v+w) = (P+v)+w[/mm] , [mm]P \in A[/mm] , [mm]v,w \in V[/mm]
iii) [mm]\forall P,Q \in A[/mm] [mm]!\exists v\in V:[/mm] [mm]Q = P+v[/mm]
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Hallo phychem!
> Hallo
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> Es sei A ein affiner Raum über dem n-dimensionalen
> K-Vektorraum V. Eine affine Basis von A ist nun ja eine
> Menge aus n+1 Punkten [mm]P_{0},...,P_{n},[/mm] so dass die
> Verbindungsvektoren
> [mm]\overrightarrow{P_{0}P_{1}},...,\overrightarrow{P_{0}P_{n}}[/mm]
> gerade eine Basis von V bilden.
>
> Sollte nun A ein affiner Unterraum von V sein, kann man ja
> beweisen, dass anstelle von [mm]P_{0}[/mm] auch jeder andere Punkt
> [mm]P_{i}[/mm] als "Bezugspunkt" gewählt werden kann -
Was hält dich im Fall [mm] $A\not\subseteq [/mm] V$, $n>0$ davon ab, beispielsweise [mm] $P_1$ [/mm] als 'Bezugspunkt' zu wählen.
> die
> entsprechenden Verbindungsvektoren bilden nach wie vor eine
> Basis von V.
Wieso sollten sie andernfalls keine Basis von $V$ bilden?
>
> Ich habe mich nun schon oft gefragt, ob dies auch im
> allgemeinen Fall gilt. Und falls ja: Wie kann man es
> beweisen? Leider hab ich bis jetzt keinen sinnvollen Ansatz
> finden können. Alle Bemühungen, einen solchen Beweis zu
> finden, haben sich bisher als vergeblich erwiesen. Deshalb
> frag ich einfach mal hier:
> Ist ein solcher Beweis überhaupt möglich? Ist der
> "Bezugspunkt" im allgemeinen Fall entscheidend für die
> Definition der affinen Basis?
>
Du solltest die zu beweisende Behauptung mathematisch korrekt
formulieren! Es ist möglich, dass deine Probleme dadurch verschwinden.
LG mathfunnel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:40 So 20.11.2011 | | Autor: | phychem |
Wenn die Elemente von A einfach Vektoren sind, kann ich beweisen, dass wenn [mm] (\overrightarrow{P_{0},P_{1}},...,\overrightarrow{P_{0},P_{n}} [/mm] eine Basis von V ist, auch etwa [mm] (\overrightarrow{P_{1},P_{0}},\overrightarrow{P_{1},P_{2}},...,\overrightarrow{P_{1},P_{n}} [/mm] eine Basis von V ist.
Wenn nun aber die Elemente von A keine Vektoren von V sind - man also für [mm] \overrightarrow{P,Q} [/mm] nicht einfach P-Q schreiben kann - gelingt mir ein solcher Beweis nicht.
Meine Frage ist nun, ob ein solcher Beweis überhaupt möglich ist.
edit: Vermutlich müsste ich erst einen Ursprung definieren und dann alle Punkte von A mit den entsprechenden Ortsvektoren identifizieren...
Ich versuch dies mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 So 20.11.2011 | | Autor: | phychem |
Mit der Definition eines beliebigen Ursprungs und der Darstellung aller Punkte als Orstvektoren ist mir der Beweis nun gelungen.
Keine Ahnung, warum ich da nicht schon vorher drauf gekommen bin.
Der Beweis ist etwas mühsam aufzuschreiben, deshalb lass ich ihn mal weg. Wenn sich aber jemand dafür interessiert, kann ich ihn gerne nachliefern.
Dank für die Hilfe. Meine Frage ist beantwortet.
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