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| Aufgabe | | Wieviele affine Ebenen enthält ein vierdimensionaler affiner Raum S über [mm] F_3. [/mm] |
Hallo erstmal! Und ein frohes Neues Jahr 2009. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Zu der Aufgabe habe ich jetzt folgende Idee:
Dieser Affine Raum müsste eigentlich [mm] 3^4 [/mm] Punkte haben, also 81 Punkte.
Eine affine Ebene besteht aus mindestens 4 Punkten, dass heißt es gäbe meiner Meinung nach 1663740 mögliche Ebenen aus 4 Punkten. Das wäre die Anzahl die durch Kombinatorik ohne Wiederholung und ohne Beachtung der Reihenfolge herauskommt, wenn man die Anzahl möglicher 4-Elementiger Teilmengen aus einer Gesamtmenge von 81 Punkten.
Ich habe aber keine Ahnung ob das auch nur annähernd stimmt.
Liebe Grüße
Sandra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 Sa 03.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Sanrda
> Wieviele affine Ebenen enthält ein vierdimensionaler
> affiner Raum S über [mm]F_3.[/mm]
> Hallo erstmal! Und ein frohes Neues Jahr 2009. Ich hoffe
> ihr könnt mir weiterhelfen. Zu der Aufgabe habe ich jetzt
> folgende Idee:
>
> Dieser Affine Raum müsste eigentlich [mm]3^4[/mm] Punkte haben, also
> 81 Punkte.
>
> Eine affine Ebene besteht aus mindestens 4 Punkten, dass
> heißt es gäbe meiner Meinung nach 1663740 mögliche Ebenen
> aus 4 Punkten. Das wäre die Anzahl die durch Kombinatorik
> ohne Wiederholung und ohne Beachtung der Reihenfolge
> herauskommt, wenn man die Anzahl möglicher 4-Elementiger
> Teilmengen aus einer Gesamtmenge von 81 Punkten.
Wieso sollte jede beliebige Teilmenge mit vier Punkten eine Ebene sein?
Erstmal besteht jede Ebene in dem Raum aus $9 = [mm] 3^2$ [/mm] Punkten, und dann ist nicht jede solche Teilmenge eine Ebene.
LG Felix
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Hey, danke schonmal für die Antwort!
1.Frage: Warum besteht jede Ebene dort aus 9 Punkten? Mein Problem ist, dass ich mir einigen Stoff gerade selber erarbeiten muss, da ich die Prüfung zu Grundlagen der Geometrie bei nem anderen Prof habe, als die Vorlesung war. Und der macht wirklich komplett andere Dinge.
2.Frage: Wie komme ich denn bei so einer Aufgabe auf die Anzahl der Ebenen?
Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann
Sandra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 So 04.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Sandra
> 1.Frage: Warum besteht jede Ebene dort aus 9 Punkten? Mein
> Problem ist, dass ich mir einigen Stoff gerade selber
> erarbeiten muss, da ich die Prüfung zu Grundlagen der
> Geometrie bei nem anderen Prof habe, als die Vorlesung war.
> Und der macht wirklich komplett andere Dinge.
Nun, der affine vierdimensionale Raum ueber dem [mm] $\IF_3$ [/mm] ist im Prinzip der [mm] $\IF_3^4$. [/mm] Und eine Ebene dort wird aufgespannt durch zwei Vektoren (und einen Basisvektor), du hast also in der Parameterdarstellung zwei Parameter mit Werten aus dem [mm] $\IF_3$. [/mm] Damit bekommst du $3 [mm] \cdot [/mm] 3 = 9$ Punkte auf der Ebene.
> 2.Frage: Wie komme ich denn bei so einer Aufgabe auf die
> Anzahl der Ebenen?
Nun, jede Ebene ist zu genau einer Ebene parallel, die durch einen fest gewaehlten Punkt geht.
Du zaehlst also
1. Wieviele Ebenen gibt es, die durch einen fest gewaehlten Punkt gehen,
2. Wieviele Ebenen es gibt die parallel zu einer festen Ebene sind.
Punkt 2 kann man sehr schoen mit Quotientenvektorraeumen loesen, wenn man weiss was das ist.
Und Punkt 1 sehr schoen mit der Grassmanschen, wenn man die kennt. Ansonsten musst du halt etwas Kombinatorik betreiben. Was du etwa machen koenntest:
a) Die Anzahl von Paaren von zwei linear unabhaengigen Vektoren im [mm] $\IF_3^4$ [/mm] zaehlen,
b) die Anzahl der Basen eines zweidimensionalen [mm] $\IF_3$-Vektorraum [/mm] zaehlst.
Wenn du die erste durch die zweite Anzahl teilst, bekommst du die Anzahl der Ebenen im [mm] $\IF_3^4$ [/mm] durch den Nullpunkt. (Die Zahl unter b) sagt naemlich, wieviele Paare von linear unabhaengigen Vektoren im [mm] $\IF_3^n$ [/mm] die gleiche Ebene aufspannen.)
Ich hoffe das hilft dir etwas weiter...
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Mo 11.07.2011 | | Autor: | Fawkes |
Hallo,
zu der gestellten Aufgabe besitze ich zwar die Lösung, jedoch verstehe ich diese nicht so ganz. Deshalb wäre ich dankbar, wenn sie mir jemand genauer erläutern könnte.
Lösung:
[mm] \bruch{\vektor{81 \\ 2} * 78}{\vektor{9 \\ 2} * 6} [/mm] = 1170
Im vierdimensionalen Raum F3 gibt es [mm] 3^4 [/mm] also 81 Punkte.
Jede Ebene hat 9 Punkte. Das ist soweit klar denke ich. Wie komme ich von hier jedoch zu diesem Ausdruck [mm] \bruch{\vektor{81 \\ 2} * 78}{\vektor{9 \\ 2} * 6}?
[/mm]
Würde mich über eine Antwort freuen,
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Di 12.07.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Hallo,
> zu der gestellten Aufgabe besitze ich zwar die Lösung,
> jedoch verstehe ich diese nicht so ganz. Deshalb wäre ich
> dankbar, wenn sie mir jemand genauer erläutern könnte.
>
> Lösung:
> [mm]\bruch{\vektor{81 \\ 2} * 78}{\vektor{9 \\ 2} * 6}[/mm] = 1170
>
> Im vierdimensionalen Raum F3 gibt es [mm]3^4[/mm] also 81 Punkte.
> Jede Ebene hat 9 Punkte. Das ist soweit klar denke ich.
> Wie komme ich von hier jedoch zu diesem Ausdruck
> [mm]\bruch{\vektor{81 \\ 2} * 78}{\vektor{9 \\ 2} * 6}?[/mm]
Der Zähler berechnet, auf wieviele Arten du 3 Punkte wählen kannst, die nicht in einer Ebene nicht auf einer Geraden liegen: erst 2 verschiedene aus den 81 und dann einen 3. aus den restlichen 78.
Der Nenner sagt dir, wieviele von diesen Ebenen gleich sind: wenn du 2 (andere) aus den 9 nimmst und den 3. aus den 6, die noch in dieser Ebene liegen. Versteho?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
PS: Tschuldigung wegen der späten Korrektur
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Di 12.07.2011 | | Autor: | Fawkes |
Hallo,
erstmal vielen Dank für deine Antwort. Im Nachhinein hab ich das mit den Geraden wohl verpeilt aber nun denke ich verstanden.
Mal als Probe:
Wie schaut das ganze Problem für [mm] F5^3 [/mm] aus?
Also habe ich [mm] 5^3 [/mm] = 125 Punkte und jede Ebene besteht aus [mm] 5^2 [/mm] = 25 Punkten. Wähle ich mir nun zwei voneinander verschiedene Punkte aus diesen aus, so hab ich (125 über 2). Der dritte Punkt darf dann nicht auf der Geraden durch diese Punkte liegen also bleiben noch 125-5 = 120 mögliche Punkte, da 5 Punkte auf einer Geraden liegen. Nun muss ich dies noch durch (25 über 2) * 20 teilen, da ich zwei beliebige Punkte aus einer Ebene mit 25 Punkten nehmen und 25-5=20 Punkte habe die in dieser Ebene liegen aber nicht auf der Geraden der beiden Punkte. Also (125 über 2)*120/(25 über 2)*20=155.
Hoffe das ist nun richtig, würde mich aber über eine kurze Bestätigung freuen.
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:03 Mi 13.07.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen,
den Zahlenwert habe ich nicht nachgerechnet, aber das ist genau der Weg.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Mi 13.07.2011 | | Autor: | Fawkes |
Danke noch mal :)
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