matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesAffine Koordinaten
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Affine Koordinaten
Affine Koordinaten < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Affine Koordinaten: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:52 So 08.05.2011
Autor: phychem

Hallo

Ich beschäftige mich gerade mich dem Wikipedia-Artikel über affine Koordinaten:

[]Link

Aus den ersten beiden Unterabschnitten werd ich einfach nicht schlau. Man scheint ja einen n-dimensionalen affinen Raum A im Sinne eines affinen Unterraumesceines Vektorraumes V zu untersuchen.
Dabei wird von einer "affinen Basis" gesprochen (diesen Begriff konnte ich nirgends wo anders finden..). Wenn ich das richtig verstanden habe, ist das ein (n+1)-Tupel aus Vektoren [mm] p_{i}, [/mm] die in diesem affinen Unterraum A liegen und für die [mm] ((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0})) [/mm] eine Basis von [mm] U\subset [/mm] V ist.

Nun wird im zweiten Unterabschnitt behauptet, dass man anstelle von [mm] p_{0} [/mm] jeden beliebigen anderen Vektoren [mm] p_{i} [/mm] wählen kann, [mm] p_{0} [/mm] also keine besondere Rolle einnimmt. Aber wie kann ich denn beweisen, dass wenn [mm] ((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0})) [/mm] eine Basis von U ist, auch etwa [mm] ((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1})) [/mm] eine Basis von U ist?

Und was ist mit dem folgenden Satz gemeint?

"Die baryzentrischen Koordinaten liefern im Gegensatz zu den inhomogenen Koordinaten auch dann formal die gleiche Darstellung des Punktes p, wenn der Vektor p0 nicht der Nullvektor des Vektorraums ist."

Was mit "die gleiche Darstellung" gemeint?

Ausserdem wär ich froh, mir könnte jemand beim Begriff "homogene Koordinaten" bezgl. affiner Räume weiterhelfen. Irgendwie versteh ich so gar nicht, was damit gemeint ist.



        
Bezug
Affine Koordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:27 Mo 09.05.2011
Autor: angela.h.b.


> Hallo
>  
> Ich beschäftige mich gerade mich dem Wikipedia-Artikel
> über affine Koordinaten:
>  
> []Link
>  
> Aus den ersten beiden Unterabschnitten werd ich einfach
> nicht schlau. Man scheint ja einen n-dimensionalen affinen
> Raum A im Sinne eines affinen Unterraumesceines
> Vektorraumes V zu untersuchen.
>  Dabei wird von einer "affinen Basis" gesprochen (diesen
> Begriff konnte ich nirgends wo anders finden..).

Hallo,

das liegt dann eher an Deiner Suche als daran, daß es ihn nicht gibt.

> Wenn ich
> das richtig verstanden habe, ist das ein (n+1)-Tupel aus
> Vektoren [mm] $p_{i},$ [/mm] die in diesem affinen Unterraum A liegen
> und für die [mm] $((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))$ [/mm] eine Basis
> von [mm] $U\subset$ [/mm] V ist.

Ich habe im Moment wenig Zeit.
Ich würde mal folgendes machen an Deiner Stelle:

nimm den VR [mm] V=\IR^3 [/mm] und z.B. den affinen Unterraum [mm] A:=\vektor{1\\2\\3}+<\vektor{5\\1\\4}, \vektor{3\\0\\0}>. [/mm]

Überleg Dir, daß [mm] B:=(p_0:=(1,2,3), p_1:=(6,3,7), p_2:=(4,2,3)) [/mm] eine affine Basis von A ist.

> Nun wird im zweiten Unterabschnitt behauptet, dass man
> anstelle von [mm] $p_{0}$ [/mm] jeden beliebigen anderen Vektoren [mm] $p_{i}$ [/mm]
> wählen kann, [mm] $p_{0}$ [/mm] also keine besondere Rolle einnimmt.
> Aber wie kann ich denn beweisen, dass wenn
> [mm] $((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))$ [/mm] eine Basis von U ist,
> auch etwa [mm] $((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))$ [/mm]
> eine Basis von U ist?

Überzeuge Dich einfach mal exemplarisch davon, daß dies auf für A und die gegebene Basis gilt.

Als nächstes würde ich mir dann mal ein Element aus A nehmen, z.B.
[mm] a:=\vektor{13\\5\\15} [/mm] und würde mal versuchen, diesen in den verschiedenen Koordinaten darzustellen.

Ich finde solche Konkretisierungen meist recht erhellend, wenn ich nicht richtig durchblicke.


>
> Nun wird im zweiten Unterabschnitt behauptet, dass man
> anstelle von [mm]p_{0}[/mm] jeden beliebigen anderen Vektoren [mm]p_{i}[/mm]
> wählen kann, [mm]p_{0}[/mm] also keine besondere Rolle einnimmt.
> Aber wie kann ich denn beweisen, dass wenn
> [mm]((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))[/mm] eine Basis von U ist,
> auch etwa [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm]
> eine Basis von U ist?

Du mußt unter der Voraussetzung, daß [mm] $((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))$ [/mm]  linear unabhängig ist, nachweisen, daß [mm] $((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))$ [/mm]  linear unabhängig ist.

Wie zeigt man lineare Unabhängigkeit?

Gruß v. Angela

>  
> Und was ist mit dem folgenden Satz gemeint?
>  
> "Die baryzentrischen Koordinaten liefern im Gegensatz zu
> den inhomogenen Koordinaten auch dann formal die gleiche
> Darstellung des Punktes p, wenn der Vektor p0 nicht der
> Nullvektor des Vektorraums ist."
>  
> Was mit "die gleiche Darstellung" gemeint?
>
> Ausserdem wär ich froh, mir könnte jemand beim Begriff
> "homogene Koordinaten" bezgl. affiner Räume weiterhelfen.
> Irgendwie versteh ich so gar nicht, was damit gemeint ist.
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Affine Koordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 Mo 09.05.2011
Autor: phychem


Danke für die Antwort.

> > Nun wird im zweiten Unterabschnitt behauptet, dass man
> > anstelle von [mm]p_{0}[/mm] jeden beliebigen anderen Vektoren [mm]p_{i}[/mm]
> > wählen kann, [mm]p_{0}[/mm] also keine besondere Rolle einnimmt.
> > Aber wie kann ich denn beweisen, dass wenn
> > [mm]((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))[/mm] eine Basis von U ist,
> > auch etwa [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm]
> > eine Basis von U ist?
>  
> Du mußt unter der Voraussetzung, daß
> [mm]((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))[/mm]  linear unabhängig ist,
> nachweisen, daß
> [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm]  linear
> unabhängig ist.
>  
> Wie zeigt man lineare Unabhängigkeit?
>  
> Gruß v. Angela

Es ist ja zu zeigen, dass wenn sich der Nullvektor nur trivial aus den Vektoren  [mm]((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))[/mm] kombinieren lässt, er auch nur auf triviale Weise aus den Vektoren  [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm] kombiniert werden kann.

Vlt. stell ich mich grad etwas sehr dumm an, aber mir gelingt ein solcher Nachweis einfach nicht...

Ausserdem muss ich ja auch zeigen, dass [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm] ein Erzeugendensystem von U ist. Aber auch hier gelingt mir der Beweis nicht. Wenn sie der Vektor p linear aus den Vektoren [mm]((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))[/mm] kombinieren lässt, wie kann ich dann zeigen, dass er sich auch als Linearkombination der Vektoren [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm] schreiben lässt?

> > Und was ist mit dem folgenden Satz gemeint?
>  >  
> > "Die baryzentrischen Koordinaten liefern im Gegensatz zu
> > den inhomogenen Koordinaten auch dann formal die gleiche
> > Darstellung des Punktes p, wenn der Vektor p0 nicht der
> > Nullvektor des Vektorraums ist."
>  >  
> > Was mit "die gleiche Darstellung" gemeint?
> >
> > Ausserdem wär ich froh, mir könnte jemand beim Begriff
> > "homogene Koordinaten" bezgl. affiner Räume weiterhelfen.
> > Irgendwie versteh ich so gar nicht, was damit gemeint ist.
>  >  
> >  

>  


Bezug
                        
Bezug
Affine Koordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Mo 09.05.2011
Autor: angela.h.b.


>
> Danke für die Antwort.
>
> > > Nun wird im zweiten Unterabschnitt behauptet, dass man
> > > anstelle von [mm]p_{0}[/mm] jeden beliebigen anderen Vektoren [mm]p_{i}[/mm]
> > > wählen kann, [mm]p_{0}[/mm] also keine besondere Rolle einnimmt.
> > > Aber wie kann ich denn beweisen, dass wenn
> > > [mm]((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))[/mm] eine Basis von U ist,
> > > auch etwa [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm]
> > > eine Basis von U ist?
>  >  
> > Du mußt unter der Voraussetzung, daß
> > [mm]((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))[/mm]  linear unabhängig ist,
> > nachweisen, daß
> > [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm]  linear
> > unabhängig ist.
>  >  
> > Wie zeigt man lineare Unabhängigkeit?
>  >  
> > Gruß v. Angela
>  
> Es ist ja zu zeigen, dass wenn sich der Nullvektor nur
> trivial aus den Vektoren  [mm]((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))[/mm]
> kombinieren lässt, er auch nur auf triviale Weise aus den
> Vektoren  [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm]
> kombiniert werden kann.
>  
> Vlt. stell ich mich grad etwas sehr dumm an, aber mir
> gelingt ein solcher Nachweis einfach nicht...

Hallo,

wir können natürlich nur helfen, wenn wir sehen was Du machst.

Die Linearkombination der [mm] p_i-p_1, [/mm] welche 0 ergibt, s solltest Du schreiben als [mm] ...=...*(p_0-p_1)+...*(p_0-p_2)+...+...*(p_0-p_n). [/mm]

Dann sollte es eigentlich klappen.

>  
> Ausserdem muss ich ja auch zeigen, dass
> [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm] ein
> Erzeugendensystem von U ist

Wenn die Menge linear unabhängig ist und genauso viele Elemente hat wie Deine  Basis, dann ist sie ebenfalls eine Basis.

Gruß v. Angela


Aber auch hier gelingt mir der

> Beweis nicht. Wenn sie der Vektor p linear aus den Vektoren
> [mm]((p_{1}-p_{0}),...,(p_{n}-p_{0}))[/mm] kombinieren lässt, wie
> kann ich dann zeigen, dass er sich auch als
> Linearkombination der Vektoren
> [mm]((p_{0}-p_{1}),(p_{2}-p_{1}),...,(p_{n}-p_{1}))[/mm] schreiben
> lässt?
>  
> > > Und was ist mit dem folgenden Satz gemeint?
>  >  >  
> > > "Die baryzentrischen Koordinaten liefern im Gegensatz zu
> > > den inhomogenen Koordinaten auch dann formal die gleiche
> > > Darstellung des Punktes p, wenn der Vektor p0 nicht der
> > > Nullvektor des Vektorraums ist."
>  >  >  
> > > Was mit "die gleiche Darstellung" gemeint?
> > >
> > > Ausserdem wär ich froh, mir könnte jemand beim Begriff
> > > "homogene Koordinaten" bezgl. affiner Räume weiterhelfen.
> > > Irgendwie versteh ich so gar nicht, was damit gemeint ist.
>  >  >  
> > >  

> >  

>  


Bezug
                                
Bezug
Affine Koordinaten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:31 Mo 09.05.2011
Autor: phychem

Nun ist mir endlich der Beweis der linearen Unabhängigkeit gelungen.

Danke für die Hilfe.

Bezug
        
Bezug
Affine Koordinaten: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:20 Mi 11.05.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]