Airy-Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Do 05.11.2009 | | Autor: | hannestz |
| Aufgabe | Ich will nachprüfen, dass die Airyfunktion mit der Integraldarstellung
[mm] Ai(z)=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\infty}cos(\bruch{t^3}{3}+t z)\,dt [/mm]
die gleichnamige Differentialgleichung
[mm] \bruch{d^2\psi}{dz^2}=z\psi [/mm]
löst.
Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
[mm]\bruch{d Ai(z)}{dz}=-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\infty}sin(\bruch{t^3}{3}+t z)t\,dt
[/mm]
[mm]
\bruch{d^2 Ai(z)}{dz^2}=-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\infty} cos(\bruch{t^3}{3}+t z)t^2\,dt
[/mm]
einsetzen in die Gleichung führt mich aber zu
[mm]-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\infty} cos(\bruch{t^3}{3}+t z)t^2\,dt=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\infty}cos(\bruch{t^3}{3}+t z)z\,dt [/mm]
Ich hänge hier fest. Kann mir jemand weiterhelfen?
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Hallo,
Da ich schon seit gestern einfach nicht weiter komme, dachte ich mir ich versuche es mal mit dem Internet. Vielleicht kann mir jemand von euch helfen.
Bei der WKB-Näherung der Schrödingergleichung bin ich auf folgendes Problem gestoßen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo,
> Ich will nachprüfen, dass die Airyfunktion mit der
> Integraldarstellung
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> [mm]Ai(z)=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\infty}cos(\bruch{t^3}{3}+t z)\,dt[/mm]
>
> die gleichnamige Differentialgleichung
> [mm]\bruch{d^2\psi}{dz^2}=z\psi[/mm]
> löst.
>
>
> Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
> [mm]\bruch{d Ai(z)}{dz}=-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\infty}sin(\bruch{t^3}{3}+t z)t\,dt
[/mm]
>
> [mm]
\bruch{d^2 Ai(z)}{dz^2}=-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\infty} cos(\bruch{t^3}{3}+t z)t^2\,dt
[/mm]
>
> einsetzen in die Gleichung führt mich aber zu
> [mm]-\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\infty} cos(\bruch{t^3}{3}+t z)t^2\,dt=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\infty}cos(\bruch{t^3}{3}+t z)z\,dt[/mm]
>
naja, der faktor [mm] $t^2$ [/mm] im integral ruft ja foermlich nach partieller integration... Versuchs doch mal damit.
Gruss
Matthias
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