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| Aufgabe | Es seinen [mm] $\Omega \neq \emptyset$ [/mm] und [mm] $G:=\{A \subseteq \Omega | A $endlich oder $A^c$ endlich \}$
[/mm]
$a) G$ ist eine Algebra über [mm] $\Omega$
[/mm]
b) $G$ ist eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] über [mm] $\Omega$ [/mm] genau dann wenn [mm] $\Omega$ [/mm] endlich ist.
Hinweis zur $b:$ Beachten sie,dass mit [mm] $\Omega$ [/mm] auch [mm] $Pot(\Omega)$ [/mm] endlich ist. |
$i) [mm] \Omega [/mm] ^c = [mm] \emptyset \Rightarrow \Omega \in [/mm] \ G$
$ii)$ 1.Fall $A$ endlich $: A = [mm] (A^c)^c \Rightarrow A^c [/mm] endlich [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \in [/mm] G$
$ 2.$ Fall [mm] $A^c \Rightarrow A^c \in [/mm] G$ als auch $A [mm] \in [/mm] G$
$iii)A$ und $B$ sind endlich [mm] $\Rightarrow [/mm] A [mm] \cup [/mm] B $ist auch endlich [mm] $\Rightarrow [/mm] (A [mm] \cup B)^c= A^c \cap B^c \Rightarrow A^c$ [/mm] und [mm] $B^c$ [/mm] sind endlich [mm] $\Rightarrow A^c$ [/mm] und [mm] $B^c \in [/mm] G [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in [/mm] G$
b) $G$ ist eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] über [mm] $\Omega \gdw \Omega$ [/mm] endlich ist.
Mein problem ist jetzt das [mm] $\Omega$ [/mm] . Ich habe auch schon einige Beträge in anderen Foren gelesen und Komolitonen gefragt,jedoch wird mir der Unterschied nicht bewusst zwischen einem endlichen [mm] $\Omega$ [/mm] und einem unendlichen [mm] $\Omega$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Mi 29.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es seinen [mm]$\Omega \neq \emptyset$[/mm] und [mm]$G:=\{A \subseteq \Omega | A $endlich oder $A^c$ endlich \}$[/mm]
>
> [mm]a) G[/mm] ist eine Algebra über [mm]\Omega[/mm]
>
> b) [mm]G[/mm] ist eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra über [mm]\Omega[/mm] genau dann wenn
> [mm]\Omega[/mm] endlich ist.
>
> Hinweis zur [mm]b:[/mm] Beachten sie,dass mit [mm]\Omega[/mm] auch
> [mm]Pot(\Omega)[/mm] endlich ist.
> [mm]i) \Omega ^c = \emptyset \Rightarrow \Omega \in \ G[/mm]
O.K.
>
> [mm]ii)[/mm] 1.Fall [mm]A[/mm] endlich [mm]: A = (A^c)^c \Rightarrow A^c endlich \Rightarrow A \in G[/mm]
Hä ? Da kann ich nicht folgen
Du willst also zeigen: A [mm] \in [/mm] G [mm] \Rightarrow A^c \in [/mm] G.
Mach das mal ordentlich !
>
> [mm]2.[/mm] Fall [mm]A^c \Rightarrow A^c \in G[/mm] als auch [mm]A \in G[/mm]
>
> [mm]iii)A[/mm] und [mm]B[/mm] sind endlich [mm]\Rightarrow A \cup B [/mm]ist auch
> endlich [mm]\Rightarrow (A \cup B)^c= A^c \cap B^c \Rightarrow A^c[/mm]
> und [mm]B^c[/mm] sind endlich [mm]\Rightarrow A^c[/mm] und [mm]B^c \in G \Rightarrow A \cup B \in G[/mm]
Wieder: Hä ?
Zu zeigen: aus A,B [mm] \in [/mm] G folgt A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in [/mm] G.
Das ist klar, wenn A und B beide endlich sind.
Wie gehts im Falle A oder B nicht endlich ?
>
>
> b) [mm]G[/mm] ist eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra über [mm]\Omega \gdw \Omega[/mm]
> endlich ist.
> Mein problem ist jetzt das [mm]\Omega[/mm] . Ich habe auch schon
> einige Beträge in anderen Foren gelesen und Komolitonen
> gefragt,jedoch wird mir der Unterschied nicht bewusst
> zwischen einem endlichen [mm]\Omega[/mm] und einem unendlichen
> [mm]\Omega[/mm]
Na, wenn [mm] \Omega [/mm] unendlich ist, so ist G keine [mm] \sigma [/mm] - Algebra. Versuche das zu zeigen.
FRED
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$ii)$
$1.A$ endlich so ist $( [mm] A^c)^c$ [/mm] endlich und damit ist [mm] $A^c \in [/mm] G$
$2. [mm] A^c$ [/mm] endlich so folgt [mm] $A^c \in [/mm] G$
viii)$
sind $ A $ und $B$ endlich so gilt $A [mm] \cup [/mm] B$ ist endlich [mm] $\Rightarrow [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in \G$
[/mm]
zweiter fall : sind [mm] $A^c [/mm] $oder [mm] $B^c$ [/mm] endlich dann ist $(A [mm] \cup B)^c [/mm] = [mm] A^c \cap B^c [/mm] $daraus folgt dann ,dass [mm] A^c [/mm] und [mm] B^c [/mm] auch endlich sind dann gilt $A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in [/mm] G$
$b) $
[mm] $"\Leftarrow"$
[/mm]
Ist [mm] $\Omega$ [/mm] endlich laut hinmweis ja dann auch [mm] $Pot(\Omega)$, [/mm] damit auch die algebra $G$ ,auch ist $G$ dann eine sigma algebra,da nur abzählbare Familien aus $G$ nur aus endlich vielen verschieden mengen bestehen kann.
$ " [mm] \Rightarrow [/mm] "$
angenommen $ [mm] \Omega [/mm] $ist unendlich dann kann man sich auf [mm] $\Omega [/mm] $ne folge [mm] $A_n:=\{x_{2k} | k \in \IN\}$ [/mm] mit pw.folgegliedern und $ A:= [mm] \bigcup_{n \in \IN}A_n.$ [/mm] das komplement von [mm] $A_n$ [/mm] ist [mm] $A^c_n :=\{x_{2k+1} | k \in \IN\}$
[/mm]
welches leider nicht endlich ist und so mit muss [mm] $\Omega$ [/mm] endlich sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Fr 01.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo forestdumb!
> [mm]ii)[/mm]
>
> 1.
Falls
> [mm]A[/mm] endlich so ist [mm]( A^c)^c[/mm] endlich
> und damit ist [mm]A^c \in G[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2.
Falls
> [mm]A^c[/mm] endlich so folgt [mm]A^c \in G[/mm]
> viii)$
>
> sind [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] endlich so gilt [mm]A \cup B[/mm] ist endlich
> [mm]\Rightarrow A \cup B \in \G[/mm]
> zweiter fall : sind [mm]A^c [/mm]oder [mm]B^c[/mm] endlich dann ist [mm](A \cup B)^c = A^c \cap B^c [/mm]
(Das gilt unabhängig davon, ob [mm] $A^c$ [/mm] bzw. [mm] $B^c$ [/mm] endlich ist oder nicht.)
> daraus
> folgt dann ,dass [mm]A^c[/mm] und [mm]B^c[/mm] auch endlich sind
Nein, wenn eine der beiden Mengen [mm] $A^c$ [/mm] und [mm] $B^c$ [/mm] endlich ist, muss die andere es noch lange nicht sein.
> dann gilt [mm]A \cup B \in G[/mm]
Mit der Beobachtung [mm] $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$ [/mm] warst du schon auf dem richtigen Dampfer.
Folgere nun die Endlichkeit von [mm] $(A\cup B)^c$.
[/mm]
> [mm]b)[/mm]
>
> [mm]"\Leftarrow"[/mm]
>
> Ist [mm]\Omega[/mm] endlich laut hinmweis ja dann auch [mm]Pot(\Omega)[/mm],
Ja.
> damit auch die algebra [mm]G[/mm] ,
Genau!
> auch ist [mm]G[/mm] dann eine sigma
> algebra,da nur abzählbare Familien aus [mm]G[/mm] nur aus endlich
> vielen verschieden mengen bestehen kann.
Die Idee stimmt! Ich würde es etwas genauer formulieren:
Seien [mm] $A_1,A_2,A_3,\ldots\in [/mm] G$. Zu zeigen ist [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n\in [/mm] G$.
Mit der Menge $G$ ist auch deren Teilmenge [mm] $M:=\{A_1,A_2,A_3,\ldots\}$ [/mm] endlich.
Es gilt [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n=\bigcup_{A\in M}A$.
[/mm]
[mm] $\bigcup_{A\in M}A$ [/mm] ist als endliche Vereinigung von Mengen aus $G$ selbst wieder ein Element von $G$.
Also gilt wie gewünscht [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n\in [/mm] G$.
> [mm]" \Rightarrow "[/mm]
>
> angenommen [mm]\Omega [/mm]ist unendlich dann kann man sich auf
> [mm]\Omega [/mm]ne folge [mm]A_n:=\{x_{2k} | k \in \IN\}[/mm] mit
> pw.folgegliedern und [mm]A:= \bigcup_{n \in \IN}A_n.[/mm] das
> komplement von [mm]A_n[/mm] ist [mm]A^c_n :=\{x_{2k+1} | k \in \IN\}[/mm]
>
> welches leider nicht endlich ist und so mit muss [mm]\Omega[/mm]
> endlich sein.
Was bezeichnest du mit [mm] $x_j$ [/mm] für [mm] $j\in\IN$?
[/mm]
Ist beabsichtigt, dass [mm] $A_n$ [/mm] gar nicht von $n$ abhängt?
Mit gutem Willen kann ich eine richtige Idee herauslesen:
Da [mm] $\Omega$ [/mm] unendlich ist, existiert eine Folge [mm] $(x_j)_{j\in\IN}$ [/mm] von paarweise verschiedenen Elementen von [mm] $\Omega$.
[/mm]
Sei [mm] $A_k:=\{x_{2k}\}$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$.
[/mm]
Dann gilt jeweils [mm] $A_k\in [/mm] G$.
Behauptung: Es gilt [mm] $A:=\bigcup_{k\in\IN}A_k\notin [/mm] G$.
(Dann folgt wie gewünscht, dass $G$ keine Sigma-Algebra sein kann.)
Beweis der Behauptung:
Es gilt [mm] $A=\{x_{2k}\;|\;k\in\IN\}$.
[/mm]
Daher und da die [mm] $x_j$ [/mm] paarweise verschieden sind, ist $A$ nicht endlich.
Da die [mm] $x_j$ [/mm] paarweise verschieden sind, gilt weiter [mm] $x_{2l+1}\notin [/mm] A$ und damit [mm] $x_{2l+1}\in A^c$ [/mm] für alle [mm] $l\in\IN$.
[/mm]
Also [mm] $A^c\supseteq\{x_{2l+1}\;|\;l\in\IN\}$.
[/mm]
Da [mm] $\{x_{2l+1}\;|\;l\in\IN\}$ [/mm] unendlich ist (hier geht wieder die paarweise Verschiedenheit der [mm] $x_j$ [/mm] ein), ist somit auch [mm] $A^c$ [/mm] unendlich.
Da also $A$ und [mm] $A^c$ [/mm] unendlich sind, gilt wie behauptet [mm] $A\notin [/mm] G$.
Viele Grüße
Tobias
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