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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:17 Fr 30.06.2006 | | Autor: | JuNi84 |
| Aufgabe | Die folgenden Aufgabe erfordert, wenn man sie rein algebraisch lösen will, Fallunterscheidungen. Lösen Sie die Aufgabe vollständig, und stellen Sie die Fallunterscheidung in einem Baumdiagramm dar. Kennen Sie eine Wahrscheinlichkeitsaufgabe, die auf den gleichen Baumtyp führt?
[mm] \wurzel{3x+y} [/mm] + [mm] \wurzel{2x-y} [/mm] = [mm] \wurzel{7x+2y} [/mm] |
Hallo,
ich soll bei dieser Aufgabe eine Fallunterscheidung für x und y durchführen, weiß aber nicht wirklich, wie ich das anstellen soll.
Ich bin für jeden Hinweis dankbar!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo JuNi84 ,
wenn man ganz naiv anfängt, die Gleichung zu quadrieren,
kommt man auf folgendes:
[mm]\wurzel{3x+y} + \wurzel{2x-y} = \wurzel{7x+2y}[/mm]
[mm]\left(\wurzel{3x+y}+\wurzel{2x-y}\right)^2 = \left(\wurzel{7x+2y}\right)^2[/mm]
[mm]\left(\wurzel{3x+y}\right)^2+2\wurzel{3x+y}\wurzel{2x-y}+\left(\wurzel{2x-y}\right)^2 = \left(\wurzel{7x+2y}\right)^2[/mm]
[mm]3x+y+2\wurzel{\left(3x+y\right)\left(2x-y\right)}+2x-y= 7x+2y[/mm]
[mm]2\wurzel{\left(3x+y\right)\left(2x-y\right)}= 7x-3x-2x+2y-y+y[/mm]
[mm]\wurzel{\left(6x^2-\left(3-2\right)xy-y^2\right)}= \frac22x+\frac22y[/mm]
[mm]\left(6x^2-\left(3-2\right)xy-y^2\right)= \left(x+y\right)^2[/mm]
[mm]6x^2-xy-y^2= x^2+2xy+y^2[/mm]
Und bekommt:
[mm]5x^2-3xy-3y^2= 0[/mm]
Die Umformungen, die ich bis hierher gemacht habe,
sehen (hoffentlich) alle gesund aus, haben aber einen
kleinen Schönheitsfehler.
Einige von ihnen sind keine Äqivalenzumformungen.
Und bekommst also keine Kette von [mm] \fbox{\gdw}:
[/mm]
[mm]\begin{matrix}
\wurzel{3x+y} + \wurzel{2x-y} = \wurzel{7x+2y}&\gdw& \left(\wurzel{3x+y}+\wurzel{2x-y}\right)^2 = \left(\wurzel{7x+2y}\right)^2 \\ \ &\gdw& \vdots \\
\ &\gdw& 5x^2-3xy-3y^2= 0
\end{matrix}[/mm]
Deshalb musst du durch Fallunterscheidungen analysieren,
unter welchen Bedingungen deine Umformungen wasserdicht sind.
(Welche Umformungen sind es nicht automatisch?)
Gruß Karthagoras
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 So 02.07.2006 | | Autor: | JuNi84 |
Hallo Karthagoras,
vielen Dank für deine Hilfe! Mir fällt es immer besonders schwer, bei Aufgaben einen Ansatz zu finden. Dabei hast du mir schonmal sehr geholfen.
Ich habe aber noch nicht ganz verstanden, was du mit "kleinen Schönheitsfehlern" meinst.
Könntest du mir vielleicht ein Beispiel nennen, in welchem Fall die Umformungen wasserdicht sind und in welchem nicht?
Das wär super!
Vielen Dank, JuNi84
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Hallo JuNi84,
wasserdicht sein heißt eine Äquivalenzumformung sein.
Nimm an, du hast irgendeine Gleichung mit den Lösungen
[mm]\IL= \{14{,}5; -\frac{28}3; 3\wurzel2 \}[/mm]
Dann willst du bei irgendwelchen Umformungen der Gleichung sicherstellen, dass diese Umformungen nicht zu Gleichungen mit anderen Lösungen führen.
In unserem Beispiel wäre es lästig, wenn die umgeformte Gleichung die Lösungsmenge
[mm]\IL= \{14{,}5; -14{,}5; -\frac{28}3;\frac{28}3; 3\wurzel2 ; -3\wurzel2 \}[/mm] hätte.
Bei Äquivalenzumformungen passiert sowas nicht (deshalb heißen sie ja so), aber wenn du wie folgt umformst:
[mm]\begin{matrix}-25=x^2 &\color{yellow}\gdw\color{black}&\left(-25\right)^2=x^4\\
&\color{blue}\gdw\color{black}&625^2=x^4\end{matrix}[/mm]
dann hast du Müll produziert, weil
[mm] $\IL=\emptyset, \mbox{für}\fbox{-25=x^2} [/mm] $ während
[mm] $\IL=\{-5; 5\}, \mbox{für}\fbox{625=x^4} [/mm] $
Das heißt, du musst beim Wurzelziehen oder Quadrieren von Gleichungen höllisch aufpassen. Das Äquivalenzzeichen, das ich schamhaft gelb gezeichnet habe, stimmt nicht. Deshalb will ich auch nicht, dass jemand es sieht.![[biggrin]](/images/smileys/biggrin.gif "[biggrin]") Damit ist aber auch die gesamte Umformungskette fragwürdig.
(Es gibt keine anderen Möglichkeiten, aber, das meint auch die Aufgabe,
du sollst Fallunterscheidungen machen, um die pathologischen Fälle zu erkennen und abzufangen. )
Gruß Karthagoras
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