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Ich hab da folgende Aufgabe zu lösen und komm einfach nicht weiter:
Es sei (G,*) eine endliche Gruppe und a, b [mm] \in [/mm] G. Man zeige, dass a und [mm] bab^{-1} [/mm] dieselbe Ordnung besitzen.
Man gebe alle Elemente der Ordnung 2 in der alternierenden Gruppe
[mm] (A_{4},*) [/mm] an und zeige, dass sie zusammen mit der Identität einen Normalteiler der Ordnung 4 in [mm] A_{4} [/mm] bilden.
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Hallo!
Zunächst mal sollte bekannt sein, dass jedes Element einer endlichen Gruppe eine endliche Ordnung besitzt.
Naja und jetzt berechne noch einfach mal [mm] $(bab^{-1})^n$... [/mm] vielleicht hilft das schon weiter.
Zum zweiten Teil: der ist leicht, wenn man weiß, dass Kerne von Gruppenhomomorphismen automatisch Normalteiler sind (war das schon dran?).
Dann betrachte einfach den Gruppenhomomorphismus $f: [mm] A_4 \to A_4$ [/mm] definiert durch $f(g) = [mm] g^2$...
[/mm]
Und am Ende mußt Du nur noch die Anzahl der Elemente der Ordnung 2 bestimmen. 
Viel Erfolg!
Lars
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ich komm mit deinem ersten Hinweis nicht ganz weiter.
Könntest du mir da genauer helfen??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:08 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, es gilt:
[mm] $(bab^{-1})^n$
[/mm]
$= [mm] (bab^{-1})(bab^{-1}) \ldots (bab^{-1})$
[/mm]
$= b a [mm] (b^{-1}b) [/mm] a [mm] (b^{-1}b) a\ldots (b^{-1}b)ab^{-1}$
[/mm]
$= b a e a [mm] \ldots [/mm] e a [mm] b^{-1}$
[/mm]
[mm] $=ba^nb^{-1}$.
[/mm]
Ist nun [mm] $a^n=e$, [/mm] dann ist auch
[mm] $ba^nb^{-1} [/mm] = [mm] beb^{-1} [/mm] = e$.
Ist [mm] $ba^nb^{-1}=e$, [/mm] so folgt:
[mm] $a^n [/mm] = [mm] b^{-1}b [/mm] = e$,
woraus insgesamt die Behauptung folgt.
Liebe Grüße
Stefan
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