Algebra,Algebrenhomomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:12 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle.
Ich befinde mich kurz vor der Einführung der Tensoralgera und suche schon eine Zeit im Internet nach einigen Difinitionen, die in der Vorlesung nicht ganz sauber eingeführt wurden. Könnte mir jemand vielleicht einmal die Definition für
- eine $R$-Algebra
- einen $R$-Algebrenhomomorphismus
geben.
(Also für mich ist eine $R$-Algebra $A$ (wobei $R$ Ring mit 1) ein Tupel $(A,f)$, wobei $A$ Ring mit 1 und $f$ Ringhomomorphismus. Welche Eigenschaften ich für ein Algebrenhomomorphismus zeigen muss, ist mir schleierhaft.)
Ich danke euch vielmals.
Gruß
Denny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Mi 28.03.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Denny!
> Ich befinde mich kurz vor der Einführung der Tensoralgera
> und suche schon eine Zeit im Internet nach einigen
> Definitionen, die in der Vorlesung nicht ganz sauber
> eingeführt wurden. Könnte mir jemand vielleicht einmal die
> Definition für
>
> - eine [mm]R[/mm]-Algebra
> - einen [mm]R[/mm]-Algebrenhomomorphismus
>
> geben.
>
> (Also für mich ist eine [mm]R[/mm]-Algebra [mm]A[/mm] (wobei [mm]R[/mm] Ring mit 1)
> ein Tupel [mm](A,f)[/mm], wobei [mm]A[/mm] Ring mit 1 und [mm]f[/mm]
> Ringhomomorphismus.
zu ergänzen: ...von R nach A.
> Welche Eigenschaften ich für ein
> Algebrenhomomorphismus zeigen muss, ist mir schleierhaft.)
Das ist dann in dieser Sprache ein Ringhomomorphismus [mm] \phi [/mm] von A nach A', der das übliche Diagramm kommutativ macht, für den also
[mm]\phi[/mm] [mm]\circ[/mm] f = f'
gilt. (Dabei ist f' nicht die 1. Ableitung  .)
In der Mathematik der 30er Jahre des vorigen Jhdts. war eine Algebra ein Vektorraum, der gleichzeitig ein Ring ist; so ein Ding wurde auch hyperkomplexes System genannt. Deine Definition stammt aus der Bourbaki-Schule und ist eine Verallgemeinerung.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:43 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo nochmal kurz. Danke schon einmal für die schnelle und wissensreiche Antwort. Mein Problem ist nun: Wie zeigt man, dass eine Abbildung ein Algebrenhomomorphismus ist. z.B.:
Seien $A,B$ $R$-Algebren. Dann definiert die Abbildung
[mm] $f:A\longrightarrow A\otimes_{R}B$ [/mm] mit [mm] $a\longmapsto a\otimes [/mm] 1$
einen kanonischen $R$-Algebrenhomomorphismus.
Hierfür müsste ich definitionsgemäß auf Abbildungen
[mm] $\Phi_1:R\longrightarrow [/mm] A$ und [mm] $\Phi_2:R\longrightarrow A\otimes_{R}B$
[/mm]
zurückgreifen, so dass [mm] $\Phi_2=f\circ\Phi_1$. [/mm] Aber wie sehen diese Abbildungen aus? Reicht es [mm] $\Phi_1$ [/mm] und [mm] $\Phi_2$ [/mm] zu bestimmen, um zu zeigen, dass $f$ ein $R$-Algebrenhomomorphismus ist?
Danke nochmals
Gruß Denny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Mi 28.03.2007 | | Autor: | statler |
Weiter geht's...
> Hallo nochmal kurz. Danke schon einmal für die schnelle und
> wissensreiche Antwort. Mein Problem ist nun: Wie zeigt man,
> dass eine Abbildung ein Algebrenhomomorphismus ist. z.B.:
>
> Seien [mm]A,B[/mm] [mm]R[/mm]-Algebren. Dann definiert die Abbildung
>
> [mm]f:A\longrightarrow A\otimes_{R}B[/mm] mit [mm]a\longmapsto a\otimes 1[/mm]
>
> einen kanonischen [mm]R[/mm]-Algebrenhomomorphismus.
Nachtrag: Der Ring R muß kommutativ sein! Dann wird eine R-Algebra A durch ganz naheliegende Definitionen zu einem R-Linksmodul und auch zu einem R-Rechtsmodul. Nur wenn A ein R-Rechts- und B ein R-Linksmodul ist, ist die kommutative Gruppe [mm] A\otimes_{R}B [/mm] überhaupt definiert.
> Hierfür müsste ich definitionsgemäß auf Abbildungen
>
> [mm]\Phi_1:R\longrightarrow A[/mm] und
> [mm]\Phi_2:R\longrightarrow A\otimes_{R}B[/mm]
>
> zurückgreifen, so dass [mm]\Phi_2=f\circ\Phi_1[/mm]. Aber wie sehen
> diese Abbildungen aus?
[mm] \Phi_{1} [/mm] ist natürlich die Abb., die A zu einer R-Algebra macht. Und [mm] \Phi_{2} [/mm] ist dann vorne [mm] \Phi_{1} [/mm] und hinten die Identität. Ich weiß, ist etwas flapsig.
> Reicht es [mm]\Phi_1[/mm] und [mm]\Phi_2[/mm] zu
> bestimmen, um zu zeigen, dass [mm]f[/mm] ein
> [mm]R[/mm]-Algebrenhomomorphismus ist?
Jetzt muß man zeigen (am besten aus der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts), daß das alles so OK ist. Das übt, aber man kann dabei auch leicht irre werden.
Hast du ein Buch über 'Homological Algebra' im Zugriff? Vielleicht den 'Hilton-Stammbach'?
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:15 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
als Bücher habeich lediglich:
1. Algebra - Bosch
2. Repetetorium der Algebra
ansonsten nutze ich viel Wikipedia und meine Mitschrift.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Denny22 |
Ich glaube das hat mir ein großes Stück weitergeholfen. Vielen Dank nochmals
Lieben Gruß
Denny
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