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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:59 Do 16.01.2014 | | Autor: | Twistor |
| Aufgabe | Für welche der folgenden Vektorräume V definiert *: V X V -> V eine K - Algebra - Struktur:
a) V = [mm] \IR^2, [/mm] für [mm] (x_1,y_1),(x_2,y_2) \in [/mm] V definieren wir [mm] (x_1,y_1) [/mm] * [mm] (x_2,y_2) [/mm] = [mm] (x_1x_2 [/mm] - [mm] y_1y_2, x_1y_2 [/mm] + [mm] x_2y_1)
[/mm]
b) V = [mm] \IR^\IZ, [/mm] für f,g [mm] \in [/mm] V ist (f*g) definiert durch (f*g)(x) = f(x)g(x)
c) V = [mm] Mat_{2,2}(\IR) [/mm] und A * B = AB - BA für A,B [mm] \in [/mm] V
d) V = [mm] \IR [/mm] und x*y = [mm] (xy)^2 [/mm] für x,y [mm] \in \IR [/mm] |
Hallo
Ich weiß leider nicht, wie man das überprüft.
Habe im Internet verschiedene Definitionen und Erklärungen von K - Algebren gelesen.
Es wäre toll, wenn mir jemand anhand eines obigen Beispieles zeigen kann, wie man das überprüft.
Das würde mich sehr freuen.
Vielen Dank
Gruß
Twistor
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Hallo,
die maßgebliche Definition ist die aus euren Skript.
Wie lautet diese?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Do 16.01.2014 | | Autor: | Twistor |
Danke für die schnelle Antwort.
Folgende Definition haben wir festgelegt:
Sei K ein Körper. Eine K - Algebra (mit Eins) ist eine Struktur
(A , K , +K , *K , + , * , *S) so dass
1) (A , K , +K , *K , + , *S) ein K - Vektorraum ist, und
2) (A , + , *) ein Ring(mit Eins) ist, und
3) [mm] \forall \lambda \in [/mm] K [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in A(\lambda [/mm] *S a) * b = [mm] \lambda [/mm] *S (a * b) = a * [mm] (\lambda [/mm] *S b)
Leider weiß ich gar nicht, wie ich das umsetzen soll.
Danke für die Hilfe
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Du musst nun nachrechnen, dass die Eigenschaften gelten.
Genauso wie man es z.B. für Vektorräume macht.
Wobei man sich einiges sparen kann:
1)gilt nach Angabe, damit ist bereits einige Unterpunkte von 2) bzgl. +
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Do 16.01.2014 | | Autor: | Twistor |
Leider verstehe ich das nicht.
Was ist z.B. A und *S?
Könntest du vielleicht mal ein Beispiel nennen, wie das funktioniert?
Das wäre sehr nett.
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> Leider verstehe ich das nicht.
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> Was ist z.B. A und *S?
Hallo,
A ist in Deinem Fall jeweils die Menge V.
Wir haben es hier mit drei Mulfiplikationen zu tun:
[mm] \*_K [/mm] steht für die Multiplikation von Elementen aus dem Körper K,
[mm] \*_S [/mm] für die Multiplikation von Elementen aus V mit Skalaren, also Elementen aus K,
und
[mm] \* [/mm] ist die Multiplikation von Elementen aus V.
Letztere wird in Deiner Aufgabe jeweils definiert,
die anderen sind die im VR üblichen.
In Aufg. a) mußt Du nun für [mm] (V=\IR^2,+,\*) [/mm] prüfen , ob es ein Ring mit 1 ist,
und ggf. dann nachrechnen, ob
für alle [mm] \lambda \in [/mm] K [mm] \forall \vektor{a_1\\a_2}, \vektor{b_1\\b_2} \in \IR^2 [/mm] gilt
[mm] (\lambda \*_S \vektor{a_1\\a_2}) [/mm] * [mm] \vektor{b_1\\b_2} [/mm] = [mm] \lambda \*_S [/mm] ( [mm] \vektor{a_1\\a_2}* \vektor{b_1\\b_2}) [/mm] = [mm] \vektor{a_1\\a_2} [/mm] * [mm] (\lambda \*_S \vektor{b_1\\b_2}) [/mm] .
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Do 16.01.2014 | | Autor: | Twistor |
Danke für deine Hilfe.
Die Begrifflichkeiten habe ich jetzt verstanden.
Jetzt soll ich prüfen, ob [mm] (V=\IR^2,+,*) [/mm] ein Ring mit 1 ist.
Also, [mm] (\IR^2,+) [/mm] muss dabei eine abelsche Gruppe sein. Es muss also gelten, a+b = b+a. Das heißt hier dann [mm] (x_1,y_1) [/mm] + [mm] (x_2,y_2) [/mm] = [mm] (x_2,y_2) [/mm] + [mm] (x_1,y_1) [/mm] gelten muss.
Weiters muss gelten: [mm] (\IR^2,*) [/mm] ist eine Halbgruppe, es muss also das Assoziativgesetz gelten.
Außerdem muss das Distributivgesetz für alle Elemente aus [mm] \IR^2 [/mm] gelten.
Unter diesen Umständen wäre es dann ein Ring mit 1?
Ist das richtig?
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> Danke für deine Hilfe.
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> Die Begrifflichkeiten habe ich jetzt verstanden.
>
> Jetzt soll ich prüfen, ob [mm](V=\IR^2,+,*)[/mm] ein Ring mit 1
> ist.
Hallo,
>
> Also, [mm](\IR^2,+)[/mm] muss dabei eine abelsche Gruppe sein.
Ja.
> Es
> muss also gelten, a+b = b+a.
Naja, ein bißchen mehr gehört schon zu "Gruppe" dazu...
Weißt Du eigentlich, wie VR definiert ist?
Wenn ja, sollte Dir auffallen, daß dies "abelsche Gruppe bzgl +" bereits beinhaltet.
> Weiters muss gelten: [mm](\IR^2,*)[/mm] ist eine Halbgruppe, es muss
> also das Assoziativgesetz gelten.
>
> Außerdem muss das Distributivgesetz für alle Elemente aus
> [mm]\IR^2[/mm] gelten.
>
> Unter diesen Umständen wäre es dann ein Ring mit 1?
Du mußt dazu auch nachweisen, daß es eine Eins gibt, also ein neutrales Element der Multiplikation.
LG Angela
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> Ist das richtig?
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