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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Di 13.03.2007 | | Autor: | uppi |
| Aufgabe | BSP. 1: Man gebe alle binären Operationen auf [mm] A=\{a,b\} [/mm] an und überprüfe sie hinsichtlich Kommut., Assoz., Invertierbarkeit und Existenz von (Rechts-, Links-) Einselementen.
BSP. 2: Man gebe alle binären Operationen [mm] \circ [/mm] auf [mm] A=\{a,b,c\} [/mm] an, sodass [mm] \circ [/mm] kommutativ und a Einselement ist, und überprüfe sie hinsichtlich Assoziativität und Regularität. |
Hier ist wieder der Algebra-Uppi :) Hoffe die liebe Angela ist noch online und kann mir hier bei den beiden Beispielen helfen... Jedermann ist natürlich eingeladen.
Ich denke mal, dass im Bsp. 1 + 2 so eine Cayley-Tafel von Nöten ist, nur weiß ich nicht, was mit "gebe alle binären Operationen an" gemeint ist... Welche binären Operationen gibt es überhaupt??? Nur +, -, *, : ???
RIESENDANKE an alle, die sich an diesen Beispielen beteiligen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Di 13.03.2007 | | Autor: | comix |
Eine binäre Operation auf der Menge A ist eine Abbildung: o: AxA [mm] \to [/mm] A. Hier gehts es nur darum alle dieser Abbildungen zu untersuchen. Welches Symbol man für die Abbildung wählt ist dabei nicht wichtig. Also alle möglichen Cayley-Tafeln aufstellen und dann die Antworten geben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Di 13.03.2007 | | Autor: | uppi |
Wie würde so eine Tafel ungefähr ausschauen?! So:
[mm] \circ [/mm] | a | b
-----------------
a | a [mm] \circ [/mm] a | a [mm] \circ [/mm] b
b | b [mm] \circ [/mm] a | b [mm] \circ [/mm] b
Nur was kommt z.B. für a [mm] \circ [/mm] a "heraus"? Steht das jetzt für eine spezielle Operation --> also soll ich das für + - * und : durchführen?? Wie kann man dann Komm., Assoz., ... beweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Di 13.03.2007 | | Autor: | comix |
Die Tafel ist zwar nicht falsch, aber sie zeigt nicht das wesentliche:
Du solltst Dir alle Abbildungen AxA [mm] \to [/mm] A ansehen:
Ein Beispiel (hier wähle ich als Funktionssymbol "f"):
f: AxA [mm] \to [/mm] A
(a,a) [mm] \mapsto [/mm] f(a,a) = a
(a,b) [mm] \mapsto [/mm] f(a,b) = a
(b,a) [mm] \mapsto [/mm] f(b,a) = a
(b,b) [mm] \mapsto [/mm] f(b,b) = b
Du kannst die Abbildung elementweise angeben. Damit ist sie wohldefiniert.
Welche andere Möglichkeiten gibt es noch?
Ein weiteres Beispiel (hier mit dem Funktionssymbol "o", das zwischen die Elemente geschrieben wird):
o: AxA [mm] \to [/mm] A
(a,a) [mm] \mapsto [/mm] aoa = b
(a,b) [mm] \mapsto [/mm] aob = b
(b,a) [mm] \mapsto [/mm] boa = b
(b,b) [mm] \mapsto [/mm] bob = a
Als Tafel geschrieben:
o | a | b |
-----------------
a | b | b |
b | b | a |
Ist hier das z.B. das Kommutativgesetz erfüllt (ja, wie kann man das leicht ablesen?)
Gibt es ein (Links-, Rechts-) Inverses? (dazu brauch ich erst ein neutrales Element, gibt es das?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Di 13.03.2007 | | Autor: | uppi |
Vielen Dank comix, habs jetzt mit deiner Hilfe doch noch geschnallt! :) THX
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