Algebraisch über k < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $L$ ein Körper und $k [mm] \subseteq [/mm] L$. Nimm an, dass $k$ ein Teilkörper van L ist. Nimm weiterhin an, dass $d := [mm] dim_k(L)$ [/mm] endlich ist. Zeige, dass jedes $x [mm] \in [/mm] L$ algebraisch ist über $k$, d.h. das $x$ eine Nullstelle eines Polynoms der Form
[mm] $x^n+a_{n-1}x^{x-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$
[/mm]
ist. Hinweis: Betrachte $1, x, [mm] x^2, \cdots, x^d$. [/mm] |
Hallo,
vorweg: sollte die Frage nicht deutlich sein, bitte kurz nachfragen. Ich studiere nicht auf deutsch und muss erst mal alle Aufgabenstellungen ins Deutsche übersetzen. Darum kann es schon mal undeutlicher werden.
Meine Frage ist hier, wie ich diese Aufgabe angehen soll. Ich kann damit einfach nichts anfangen. Vielleicht übersehe ich irgendetwas Wesentliches, und vielleicht kann mir hier jemand helfen.
Liebe Grüße.
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Wegen der endlichen Dimension müssen die Elemente $1, x, [mm] x^2,\dots [/mm] $ linear abhängig sein. Jetzt schreibe einfach nur die Definition von linearer Abhängigkeit hin und du bist schon fertig.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
P.S.: Ich glaube im Forum "Eigenwerte" hast du dich hier etwas verlaufen 
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Hi,
> Wegen der endlichen Dimension müssen die Elemente [mm]1, x, x^2,\dots[/mm]
> linear abhängig sein. Jetzt schreibe einfach nur die
> Definition von linearer Abhängigkeit hin und du bist schon
> fertig.
Du meinst, weil ich einen $d$-dimensionalen Raum habe und die Menge mit $1, x, [mm] x^2,\ldots,x^d$ [/mm] d+1 Element enthält, sind die Vektoren in der Menge linear abhängig? Das sehe ich ein und dann könnte ich ja schreiben:
[mm] $a_1+a_2x+a_3x^2+\ldots+a_{d+1}x^d=0$
[/mm]
für alle [mm] $a_i \in \IR$. [/mm] Nur wie komme ich dann auf die Nullstelle?
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
>
> P.S.: Ich glaube im Forum "Eigenwerte" hast du dich hier
> etwas verlaufen
Ja, stimmt, fast alle Aufgaben diese Woche haben irgendwas mit Eigenwerten oder -vektoren zu tun, darum bin ich fast automatisch hier gelandet^^. Ich habe nachträglich noch versucht, den Beitrag zu verschieben, was aber nicht funktioniert hat.
Liebe Grüße.
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Hallo,
Du suchst doch keine Nullstelle eines Polynoms, sondern du suchst ein Polynom, dessen Nullstelle $ x $ ist. Wenn [mm] $1,\dots, x^d$ [/mm] linear abhängig sind, heißt das, dass es $ k $-Elemente $ [mm] a_0,\dots, a_d [/mm] $ gibt mit $ [mm] a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_dx^d [/mm] =0$. (Nicht etwa, dass das für alle [mm] a_i [/mm] gilt, wie du schreibst. ) Jetzt verwende diese Elemente als Koeffizienten deines Polynoms, das heißt definiere $ [mm] p=a_0+a_1X+a_2X^2+\dots+a_d X^d [/mm] $. Dann ist $ x $ offensichtlich Nullstelle dieses Polynoms und somit algebraisch.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 So 11.01.2015 | | Autor: | MeMeansMe |
Hey,
danke sehr, ich denke, ich habe es verstanden. Manchmal sollte man nicht zu kompliziert denken :)
Liebe Grüße.
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