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| Aufgabe | Eine Zahl x [mm] \in \IR [/mm] heißt algebraisch, wenn es eine natürliche Zahl n [mm] \ge [/mm] 1 und rationale Zahlen [mm] a_{1},a_{2},...,a_{n} \in \IQ [/mm] gibt, so dass
[mm] x^{n} [/mm] + [mm] a_{1}x^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{n-1}x [/mm] + [mm] a_{n} [/mm] = 0.
Man bweise: Die Menge A [mm] \subset \IR [/mm] aller algebraischen Zahlen ist abzählbar.
Hinweis. Man zeige dazu, dass die Menge aller Polynome mit rationalen Koeffizienten abzählbar ist und benutze (ohne Beweis), dass ein Polynom n-ten Grades höchstens n Nullstellen hat. |
Mein Beweis geht so vor:
Definiere
[mm] A_{n} [/mm] := { [mm] p_{n}(x) [/mm] = [mm] x^{n} [/mm] + [mm] a_{1}x^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{n-1}x [/mm] + [mm] a_{n} [/mm] : [mm] a_{1},a_{2},...,a_{n} \in \IQ [/mm] , x [mm] \in \IR} [/mm] , n [mm] \in \IN [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 .
Seien [mm] p_{n}(x), q_{n}(x) \in A_{n}
[/mm]
[mm] p_{n}(x) [/mm] = [mm] x^{n} [/mm] + [mm] a_{1}x^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{n-1}x [/mm] + [mm] a_{n}
[/mm]
[mm] q_{n}(x) [/mm] = [mm] x^{n} [/mm] + [mm] b_{1}x^{n-1} [/mm] + ... + [mm] b_{n-1}x [/mm] + [mm] b_{n} [/mm] .
Dann gilt
[mm] (\forall [/mm] x [mm] \in \IR) p_{n}(x) \not= q_{n}(x) \gdw (\exists [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,...,n}) [mm] a_{i} \not= b_{i} [/mm] (*)
Behauptung: Für alle n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 die Menge [mm] A_{n} [/mm] ist abzählbar.
Beweis. Vollständige Induktion nach n.
IA : n = 1.Dann
[mm] A_{1} [/mm] = { [mm] p_{1}(x) [/mm] = x + [mm] a_{1} [/mm] : [mm] a_{1} \in \IQ [/mm] , x [mm] \in \IR [/mm] }
Weil [mm] a_{1} \in \IQ [/mm] ist, folgt
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{k}{n} [/mm] , k [mm] \in \IZ [/mm] , n [mm] \in \IN [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1.
Definiere [mm] D_{n} [/mm] := { [mm] p_{1}(x) [/mm] = x + [mm] \bruch{k}{n} [/mm] }. Weil [mm] \IZ [/mm] abzählbar ist, folgt nach (*)
dass auch [mm] D_{n} [/mm] abzählbar für alle n [mm] \ge [/mm] 1 ist. Dann [mm] A_{1} [/mm] können wir schreiben als
[mm] A_{1} [/mm] = [mm] \bigcup_{n \ge 1} D_{n} [/mm] ,d.h. [mm] A_{1} [/mm] ist eine abzählbare Vereinigung
abzählbarer Mengen [mm] \Rightarrow A_{1} [/mm] ist abzählbar.
IV : Behaupte, dass [mm] A_{n} [/mm] abzählbar ist für ein n [mm] \in \IN.
[/mm]
IS : n [mm] \to [/mm] n + 1.Dann
[mm] A_{n+1} [/mm] = { [mm] p_{n+1}(x) [/mm] = [mm] x^{n+1} [/mm] + [mm] a_{1}x^{n} [/mm] + ... + [mm] a_{n-1}x^{2} [/mm] + [mm] a_{n}x [/mm] + [mm] a_{n+1} [/mm] : [mm] a_{1},a_{2},...,a_{n+1} \in \IQ [/mm] , x [mm] \in \IR [/mm] }
= { [mm] p_{n+1}(x) [/mm] = [mm] x(x^{n} [/mm] + [mm] a_{1}x^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{n-1}x [/mm] + [mm] a_{n}) [/mm] + [mm] a_{n+1} [/mm] } = { [mm] p_{n+1}(x) [/mm] = [mm] x*p_{n}(x) [/mm] + [mm] a_{n+1} [/mm] : [mm] p_{n} \in A_{n} [/mm] }
Für fixiertes [mm] a_{n+1} \in \IQ [/mm] ist [mm] A_{n+1} [/mm] nach IV und (*) abzählbar.Weiter,
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{k}{m} [/mm] für k [mm] \in \IZ [/mm] und m [mm] \in \IN, [/mm] m [mm] \ge [/mm] 1.Somit
definieren wir
[mm] B_{m} [/mm] := { [mm] q_{n} [/mm] = [mm] x*p_{n}(x) [/mm] + [mm] \bruch{k}{m} [/mm] : x [mm] \in \IR, p_{n} \in A_{n}, [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] } .
Weil [mm] \IZ [/mm] abzählbar ist, folgt nach IV, und (*) dass [mm] B_{m} [/mm] abzählbar für alle m [mm] \ge [/mm] 1 ist.
Somit
[mm] A_{n+1} [/mm] = [mm] \bigcup_{m \ge 1}B_{m} [/mm] ist eine abz. Vereinigung abz.
Mengen [mm] \Rightarrow A_{n+1} [/mm] ist abzählbar q.e.d.
Mit P bezeichne die Menge aller Polynomen mit rationalen Koeffizienten.Dann
P := [mm] \bigcup_{n \ge 1}A_{n} [/mm] ist wieder eine abz. Vereinigung abz. Mengen und somit
P ist abzählbar.
Für n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 sei
[mm] C_{n} [/mm] := { x [mm] \in \IR [/mm] : [mm] p_{n}(x) [/mm] = 0 für [mm] p_{n}(x) \in A_{n} [/mm] }. Weil [mm] p_{n}(x) [/mm] ein Polynom
n-ter Grad ist, wir können benutzen dass [mm] p_{n}(x) [/mm] höchstens n Nullstellen hat und somit
[mm] |C_{n}| \le [/mm] n ,d.h. [mm] (\forall [/mm] n [mm] \in \IN)(n \ge [/mm] 1) [mm] C_{n} [/mm] endlich ist und
auf dieser Weise auch abzählbar.
Damit die Menge der algebraischen Zahlen ist
A := [mm] \bigcup_{n \ge 1} C_{n} [/mm] nach (§9 Satz 1, Ana I - O. Forster) abzählbar.
q.e.d.
Meine Frage ist: Ist das IS Teil meiner Induktionsbeweis korrekt?
Ich bin ein bischen verzweifelt.Ich bitte euch um Korrektur.
mfG,
Rado
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Sa 15.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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