Algebren < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | Betrachtet werde ein Würfel. Jedes Ergebnis des Würfelns sei mit
der entsprechenden Augenzahl bezeichnet. Die Menge X := {1, 2, 3, 4, 5, 6} sei die Menge aller möglichen Würfelergebnisse bei einem Wurf.
a) Bestimmen Sie die kleinste (sigma)-Algebra A über X, die alle einelementigen Teilmengen von X enthält.
b) Wieviele Elemente enthält diese (sigma)-Algebra?
c) Geben Sie mindestens zwei weitere (sigma)-Algebren über X an. |
| Aufgabe 2 | X sei nichtleere Menge. Betrachten Sie das Mengensystem
[mm] \overline{C} [/mm] := {A [mm] \subseteq [/mm] X : A endlich oder [mm] A^{c} [/mm] endlich } und zeigen Sie:
a) [mm] \overline{C} [/mm] ist eine Algebra über X.
b) [mm] \overline{C} [/mm] ist genau dann (sigma)-Algebra über X, wenn X endlich ist.
c) Zeigen Sie: Die (sigma)-Algebra
[mm] C^{sigma} [/mm] := {A [mm] \subseteq [/mm] X : A höchstens abzählbar oder [mm] A^{c} [/mm] höchstens abzählbar }
ist die von [mm] \overline{C} [/mm] erzeugte (sigma)-Algebra:
[mm] sigma(\overline{C}) [/mm] = [mm] C^{sigma}(\overline{C}) [/mm] = {A [mm] \subseteq [/mm] X : A höchstens abzählbar oder [mm] A^{c} [/mm] höchstens abzählbar }.
d) X sei nun eine überabzählbare Menge.
Zeigen Sie:
M := {A [mm] \subseteq [/mm] X : A höchstens abzählbar oder [mm] A^{c} [/mm] höchstens abzählbar }
ist (sigma)-Algebra über X und μ
[mm] \mu(A)=\begin{cases} 0, & \mbox{bei } A \mbox{ höchstens abzählbar} \\ 1, & \mbox{bei } A^{c} \mbox{ höchstens abzählbar} \end{cases}
[/mm]
ist ein Maß auf M.
|
Hey lieber Helfer =)
Ich wäre euch super dankbar, wenn ihr mir bei den Aufgaben ein bisschen auf die Sprünge helfen könnten, da wir das Fach erst diese Woche bekommen haben und ich noch nicht genau weiß was ich machen soll....
Die Def. habe ich aber ich weiß einfach nicht wie ich sie anwenden soll.
mfg
|
|
| |
|
Hallo,
ich gebe dir erstmal nur ein paar Tipps zu Aufgabe 1.
a.) Du sollst also die kleinste sigma-Algebra angeben, welche alle einelementigen Teilmengen enthält, also gilt schon mal:
[mm] \mathcal{A} [/mm] = { {1},{2},{3},{4},{5},{6}, ... }. Wir brauchen noch das ... Du schreibst, dass du die Def. der sigma-Algebra hast. Dann wende sie doch einfach auf diese Info an. Ein Bsp.: Eine Forderung ist ja, dass mit A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] auch [mm] A^{c} \in \mathcal{A}. [/mm] Was ist denn das Komplement zu {1}, {2} usw., die müssen ja nach Def. alle in [mm] \mathcal{A} [/mm] liegen. Du siehst, mit der Def. kommt man hier ziemlich weit.
b.) wenn du a. hast, sollte das kein Problem sein
c.) eine Lösung gebe ich dir: { [mm] \emptyset,X [/mm] }. Für die andere Lösung: Betrachte mal eine beliebige Teilmenge A aus X. Sei nun A in [mm] \mathcal{A}, [/mm] welche anderen Mengen müssen dann noch in [mm] \mathcal{A} [/mm] sein, damit es eine sigma-Algebra ist?
Aufgabe 2, kannst du dann ja mal selbst versuchen.
Grüße, Steffen
|
|
|
| |
|
Hey danke für die Antwort, ich muss sagen das hätte ich auch allein mit einem Blick auf die Definition rusfinden sollen! ;)
Aber ich glaube ich habe grad noch ein Brett vorm Kopf.
Also ist richtig, dass das Komplement von 1 9 ist? und von 4 6 ist?
Und dann noch die frage, was ist denn das Komplement von
{2, 4} ?
danke für eine Antwort
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 So 19.10.2008 | | Autor: | Zorba |
Nein, ein Komplement von z.B. {1} bedeutet: Alle anderen Elemente der die 1 umfassenden Menge.
Also ist das Komplement von 1 in der Menge der Zahlen von 1 bis 6 folgende Menge: {2,3,4,5}
|
|
|
|
