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| Aufgabe | Sei [mm] $X:=\mathbb{N}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{A}:=\{A\subset \mathbb{N}|A$ oder $A^C$ endlich $\}$.
[/mm]
Ferner sei für [mm] $A\in\mathbb{A}$: $$\mu (A):=\begin{cases}0,&\mbox{ falls A endlich}\\ 1, &\mbox{ falls A unendlich}.\end{cases} [/mm] $$
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ist eine Algebra über X.
b) [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ist keine [mm] $\sigma$-Algebra.
[/mm]
c) [mm] $\mu$ [/mm] ist ein Inhalt
d) [mm] $\mu$ [/mm] ist nicht [mm] $\sigma$-additiv. [/mm] |
Guten Abend zusammen,
ich bearbeite gerade folgende Aufgabe.
Ich habe die a) und b) schon gelöst, jedoch habe ich Probleme bei der Teilaufgabe c).
[mm] $\mu (\emptyset [/mm] )=0$ (klar)
Ich dachte mir, dass ich für die Additivität folgende Fälle unterscheiden muss:
1. A,B endlich
2. [mm] $A^C,B^C$ [/mm] endlich
3. [mm] $A,B^C$ [/mm] endlich
4. [mm] $A^C,B$ [/mm] endlich
Nun habe ich zum ersten Fall:
A,B endlich und disjunkt [mm] \Rightarrow $A\cup [/mm] B$ endlich [mm] $\Rightarrow \mu (A\cup B)=0=\mu [/mm] (A) + [mm] \mu [/mm] (B)$
Nun habe ich beim zweiten Fall das Problem, dass hier die additivität nicht gilt.
Somit habe ich mir überlegt, ob überhaupt 2 unendliche Teilmengen, deren Komplement endlich und disjunkt ist existieren?
Ich würde mich hier sehr über Hilfe freuen.
Vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi
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Guten Tag,
ich habe mir nochmal Gedanken zum 2. Fall gemacht und bin auf folgendes gestoßen:
A,B müssen disjunkte, unenedliche Teilmengen von [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] sein mit:
[mm] $A^C,B^C$ [/mm] endlich.
Das heißt:
[mm] $A\cap B=\emptyset$
[/mm]
[mm] \Rightarrow: \mathbb{N}=(A\cap B)^C=A^C\cup B^C$
[/mm]
Da [mm] $A^C,B^C$ [/mm] endlich, können diese nicht ganz [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] (unendlich) erzeugen. Somit existieren diese Mengen so nicht.
Ist meine Überlegung richtig?
Vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi
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Hiho,
na da bist du ja analog zu meiner Antwort selbst drauf gekommen ^^
Nächste Mal doch bitte bevor ich antworte 
MFG,
Gono.
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hiho,
wie du schon fast selbst erkannt hast, hast du eigentlich "nur" 2 mögliche Fälle:
1.) A,B endlich
2.) A oder B nicht endlich
Und gut erkannt hast du, dass du Probleme bekommen würdest, falls A und B beide unendlich und disjunkt sind (die anderen Unterfälle von 2.) sind ja trivial durch hinschreiben).
Aber wenn du das hinschreibst, erhälst du doch sofort:
$A \cap B = \emptyset$
$\Rightarrow \left(A\cap B)^c = \emptyset^c = \IN$
$\Rightarrow A^c \cup B^c = \IN$
Erkennst du nun, warum das nicht gehen kann?
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 So 06.01.2013 | | Autor: | DudiPupan |
Hallo Gono,
vielen Dank für deine Antwort :)
Mir ist der Geistesblitz leider erst gerade eben gekommen,
aber lustig, dass wir das analog gelöst haben :)
Ich wünsche dir noch einen schönen Sonntag
Liebe Grüße
Dudi
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Guten Tag,
mir ist gerade eben noch eine Frage aufgekommen, bzgl. der Teilaufgabe d).
Hier soll ich Zeigen, dass [mm] $\mu$ [/mm] kein [mm] $\sigma$-additiver [/mm] Inhalt ist.
[mm] $\mu$ [/mm] wäre ja Sigma-additiv, wenn die Additivität auch für unendliche disjunkte Vereinigungen gelten würde.
Ich bin das wie folgt angegangen:
Ich definiere mit die Folge, die ganz [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] erzeugt:
[mm] $A_1:=\{1\},A_2:=\{2\},\ldots ,A_n:=\{n\}$, $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset \mathcal{A}$, [/mm] da endlich.
Außerdem: [mm] $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}^{\cdot}A_n\in\mathcal{A}$, [/mm] da [mm] $\left( \bigcup_{n\in\mathbb{N}}^{\cdot}A_n \right) ^C=\emptyset$ [/mm] endlich.
Jedoch gilt:
[mm] $\mu \left( \bigcup_{n\in\mathbb{N}}^{\cdot}A_n\right) =1\neq \sum_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n)=0$
[/mm]
Stimmt das, oder ist mir irgendwo ein Denkfehler unterlaufen?
Vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi
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Hiho,
> Stimmt das, oder ist mir irgendwo ein Denkfehler unterlaufen?
Glückwunsch, du hast soeben das Standardgegenbeispiel für diese Aufgabe konstruiert
MFG,
Gono.
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