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| Aufgabe | | Sei $f: [a,b] [mm] \to [/mm] [a,b]$ stetig. Zeigen Sie, dass ein [mm] $\xi \in [/mm] [a,b]$ existiert mit [mm] $f(\xi) [/mm] = [mm] \xi$. [/mm] |
Es gilt: [mm] $$\forall x_0 \in [/mm] [a,b]: [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0: [mm] \exists \delta [/mm] > 0: [mm] \quad |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon$$
[/mm]
Meine Beweisidee:
Betrachte [mm] $f\left(a+(b-a)\frac{1}{2}\right)$. [/mm] Ist der Wert $= [mm] a+(b-a)\frac{1}{2}$, [/mm] dann fertig. Ist er kleiner bzw. größer, dann betrachte [mm] $f\left(a+(b-a)\frac{1}{4}\right)$ [/mm] bzw. [mm] $f\left(a+(b-a)\frac{3}{4}\right)$ [/mm] und wiederhole das Ganze.
Irgendwann müsste ich dann aufgrund der Stetigkeit bei dem gewünschten [mm] $\xi$ [/mm] ankommen. Ist das richtig und wie schreibe ich das unter der Verwendung der Vor. auf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo sokratesius,
> Sei [mm]f: [a,b] \to [a,b][/mm] stetig. Zeigen Sie, dass ein [mm]\xi \in [a,b][/mm]
> existiert mit [mm]f(\xi) = \xi[/mm].
> Es gilt: [mm]\forall x_0 \in [a,b]: \forall \epsilon > 0: \exists \delta > 0: \quad |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \epsilon[/mm]
Das weiß ich. Und ich weiß auch, daß Du das weißt. Daher überflüssig.
>
> Meine Beweisidee:
>
> Betrachte [mm]f\left(a+(b-a)\frac{1}{2}\right)[/mm]. Ist der Wert [mm]= a+(b-a)\frac{1}{2}[/mm],
> dann fertig. Ist er kleiner bzw. größer, dann betrachte
> [mm]f\left(a+(b-a)\frac{1}{4}\right)[/mm] bzw.
> [mm]f\left(a+(b-a)\frac{3}{4}\right)[/mm] und wiederhole das Ganze.
>
> Irgendwann müsste ich dann aufgrund der Stetigkeit bei dem
> gewünschten [mm]\xi[/mm] ankommen. Ist das richtig und wie schreibe
> ich das unter der Verwendung der Vor. auf?
Das ist nicht richtig. Ich sehe keinen Grund, warum Du irgendwann bei dem gewünschten $x$ ankommen solltest.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Mi 16.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du suchst eine Stelle f(x)=x, betrachte die Funktion h(x)=f(x)-x
und zeige,dass siemindestens eine Nullstelle hat. du musst verwenden, dass def.gebiet und Wertebereich gleich sind, g(x)=x bildet auch [a,b] auf [a,b] ab.
Gruss leduart
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Vielen Dank, das hat mir den richtigen Weg gezeigt :)
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