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Forum "Zahlentheorie" - Alle Lösungen bestimmen
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Alle Lösungen bestimmen: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Di 28.10.2014
Autor: Striker_03

Aufgabe
Es sei p eine der Primzahlen 29,31,71 oder 65537.
Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen der Kongruenzen.

a) $ [mm] x^7 \equiv [/mm] 1 [mm] \quad [/mm] mod [mm] \quad [/mm] p $

Hallo,

kann mir einer helfen wie ich an diese Aufgabe ran gehen kann?

LG



        
Bezug
Alle Lösungen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Di 28.10.2014
Autor: abakus


> Es sei p eine der Primzahlen 29,31,71 oder 65537.
> Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen der Kongruenzen.

>

> a) [mm]x^7 \equiv 1 \quad mod \quad p[/mm]
> Hallo,

>

> kann mir einer helfen wie ich an diese Aufgabe ran gehen
> kann?

>

> LG

>
>
Hallo,
ich bin mir nicht sicher, ob es hilft. Nach dem kleinen Fermat [mm] ist $x^{28} \equiv [/mm] 1 [mm] \quad [/mm] mod [mm] \quad [/mm] 29$ für jedes x von 1 bis 28.
Die Zykluslänge ist in deiner Aufgabe nicht 28, sondern 7.
Es gibt damit nur 7 mögliche Restklassen.
Kommst du damit irgendwie weiter?
Mit 31 ist es relativ einfach. Da [mm]x^{28}=(x^7)^4[/mm] gilt, gilt auch [mm]x^{28} \equiv 1 \quad mod \quad 31[/mm], und wegen Fermat gilt auch [mm]x^{30} \equiv 1 \quad mod \quad 31[/mm]. Das funktioniert dann nur für die Restklassen x=1 und x=-1.
Gruß Abakus

Bezug
                
Bezug
Alle Lösungen bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 Di 28.10.2014
Autor: Striker_03

hallo,

danke für deine Antwort.
Es hört sich alles glaube ich richtig an ^^ aber so richtig geholfen hat mir es noch nicht.
Ok das mit dem kleinen Fermat hab ich verstanden.
Aber wie komme ich von den sieben Restklassen auf meine Lösung?

und noch eine frage, ich habe ja mehrere p's, muss ich nach p=29 die anderen Fälle auch betrachten?

LG

Bezug
                        
Bezug
Alle Lösungen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Di 28.10.2014
Autor: abakus


> hallo,

>

> danke für deine Antwort.
> Es hört sich alles glaube ich richtig an ^^ aber so
> richtig geholfen hat mir es noch nicht.
> Ok das mit dem kleinen Fermat hab ich verstanden.
> Aber wie komme ich von den sieben Restklassen auf meine
> Lösung?

>

> und noch eine frage, ich habe ja mehrere p's, muss ich nach
> p=29 die anderen Fälle auch betrachten?

>

> LG

Hallo,
ich habe dir zum Fall p=31 schon die Lösung gegeben. Natürlich sind die anderen Teilaufgaben auch zu lösen.

Solche Aufgaben werden nicht aus Jux gestellt. Was waren denn so die letzten Sätze aus der Vorlesung, die zum Thema gehören?

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