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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 So 15.06.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen folgender Ungleichung:
[mm] \bruch{3*x}{\sqrt{2*x-1}}<8-x [/mm] |
Hi!
Ich komm bei der Ungleichung einfach nicht weiter
Irgendwie müsste ich das bja langsam mal können aber mir fehlen wohl die kreativen Lösungsansätze/die Übung oder was weis ich :(
Also ich habe die Ungleichung ersteinmal quadriert, damit die Wurzel wegfällt, dann steht hier folgendes:
[mm] \bruch{9*x^2}{2x-1}<64-16*x+x^2
[/mm]
dann habe ich den Nenner auf die andere Seite gebracht,
da 2x-1 aufgrund der Wurzel immer positiv ist (die Ungleichung ist nur für x>bruch{1}{2} definiert) muss ich keine Fallunterscheidung machen/das Ungleichungszeichen nicht umdrehen.
[mm] 9*x^2<(64-16*x+x^2)*(2*x-1)
[/mm]
[mm] 9*x^2<128*x-32*x^2+2*x^3-64+16*x-x^2
[/mm]
[mm] 9*x^2<2*x^3-33*x^2+144*x-64
[/mm]
[mm] 0<2*x^3-42*x^2+144*x-64
[/mm]
Und jetzt weis ich nicht weiter. Nullstellenraten bringt nichts weshalb ich da auch nicht wüsste wie ich da was faktorisieren kann.
Danke schonmal im vorraus und besten Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 So 15.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Bestimmen Sie alle Lösungen folgender Ungleichung:
> [mm]\bruch{3*x}{\sqrt{2*x-1}}<8-x[/mm]
> Also ich habe die Ungleichung ersteinmal quadriert, damit
> die Wurzel wegfällt, dann steht hier folgendes:
Vorsicht!
Du darfst Ungleichungen nicht einfach quadrieren.
Das ist im allgemeinen keine Äquivalenzumformung:
Die korrekte Ungleichung -2 < 1 würde durch Quadrieren falsch werden.
Die falsche Ungleichung -2 < -3 würde richtig werden.
Hier geht es aber ausnahmsweise, weil man durch einfache Vorüberlegungen hinsichtlich des Vorzeichens der beiden Seiten den Bereich möglicher Lösungen schon auf das Intervall zwischen 0,5 und 8 (jeweils ausschließlich) beschränken kann und dann beide Seiten positiv sind.
> [mm]\bruch{9*x^2}{2x-1}<64-16*x+x^2[/mm]
> dann habe ich den Nenner auf die andere Seite gebracht,
> da 2x-1 aufgrund der Wurzel immer positiv ist (die
> Ungleichung ist nur für x>bruch{1}{2} definiert) muss ich
> keine Fallunterscheidung machen/das Ungleichungszeichen
> nicht umdrehen.
>
> [mm]9*x^2<(64-16*x+x^2)*(2*x-1)[/mm]
> [mm]9*x^2<128*x-32*x^2+2*x^3-64+16*x-x^2[/mm]
> [mm]9*x^2<2*x^3-33*x^2+144*x-64[/mm]
> [mm]0<2*x^3-42*x^2+144*x-64[/mm]
>
> Und jetzt weis ich nicht weiter. Nullstellenraten bringt
> nichts weshalb ich da auch nicht wüsste wie ich da was
> faktorisieren kann.
da sehe ich auch keine einfache Möglichkeit. Allenfalls die Cardanische Formel. Schau mal in Wikipedia, wenn es dich interessiert. Hier die Näherungslösungen:
0.5219199794 < x < 3.641626924
LG
Will
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